[论文解读] Non-Abelian L Function for Number Fields

Lin Weng|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文通过几何-算术上同调、截断法及朗兰兹的Eisenstein级数理论，为数域引入了非交换L-函数。它基于上同调对偶性建立了非交换Zeta函数，并证明了射影直线P¹上抛物向量丛的Tannakian范畴的自同构群同构于S₃，从而实现了非交换类域论，并为逆伽罗瓦问题提供了几何方法。

ABSTRACT

This is an integrated part of our Geo-Arithmetic Program. In this paper we introduce and hence study non-abelian zeta functions and more generally non-abelian $L$-functions for number fields, based on geo-arithmetical cohomology, geo-arithmetical truncation and Langlands' theory of Eisenstein series.

研究动机与目标

• 通过新颖的几何-算术上同调框架，为数域定义非交换Zeta函数。
• 基于自守形式与截断法，建立非交换L-函数的几何与上同调基础。
• 为复数域上的函数域提供非交换类域论，证明非交换互惠律的合理性。
• 将抛物向量丛的Tannakian范畴结构与伽罗瓦群联系起来，推进逆伽罗瓦问题的研究。

提出的方法

• 通过GL_r(𝔸)中adele与数域格的交与商，引入一种新的几何-算术上同调。
• 定义H⁰(𝔸_F, g) = 𝔸ʳ(g) ∩ Fʳ(g) 与 H¹(𝔸_F, g) = 𝔸ʳ / (𝔸ʳ(g) + Fʳ(g)) 为局部紧致群。
• 应用Serre对偶性（Pontrjagin对偶性），通过idele对偶化元素κ_F将H¹与H⁰的对偶联系起来。
• 使用标准Haar测度与测试函数（特征函数与高斯函数），通过Plancherel公式定义上同调群的计数。
• 通过几何-算术截断构造一般非交换L-函数，作为Eisenstein级数在模空间上的积分。
• 将几何-算术截断与Arthur的解析截断进行比较，以定义自守L-函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用上同调与自守方法为数域定义非交换Zeta函数？
• RQ2 Eisenstein级数在非交换L-函数结构中起什么作用？
• RQ3 抛物向量丛的Tannakian范畴的自同构群能否实现给定有限群作为伽罗瓦群？
• RQ4 在抛物向量丛的模空间上，有理点的结构在多大程度上可推进逆伽罗瓦问题？
• RQ5 几何-算术上同调与非交换类域论有何关联？

主要发现

• 由三个抛物向量丛Σ₁₁、Σ₁₂、Σ₂₁生成的Tannakian范畴的自同构群同构于S₃。
• 抛物丛的张量积分解精确对应于S₃的不可约表示，证实了范畴的等价性。
• 该范畴由这三个丛作为本原生成元有限生成。
• 该构造实现了S₃作为在∞、1、0处分支指数分别为3、2、2的ℙ¹的分支覆盖的伽罗瓦群。
• 该方法通过函数域上的抛物向量丛，为非交换互惠律提供了几何实现。
• 该方法提示了一条新途径，可通过抛物向量丛模空间上的有理点解决逆伽罗瓦问题。