[论文解读] Non-Archimedean analytic cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆, Ralf Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文为具有特征零分式域的完备离散赋值环V上的完备、无挠的bornological代数引入了非阿基米德解析循环同调。它建立了同伦不变性、稳定性、黏合性以及幂零性不变性，并将光滑一维V-代数的dagger完备化的解析循环同调与de Rham上同调相联系，当剩余域具有正特征时，该结果与Berthelot的刚性上同调一致。

ABSTRACT

Let $V$ be a complete discrete valuation ring with fraction field $F$ of characteristic zero and with residue field $\mathbb{F}$. We introduce analytic cyclic homology of complete torsion-free bornological algebras over $V$. We prove that it is homotopy invariant, stable, invariant under certain nilpotent extensions, and satisfies excision. We use these properties to compute it for tensor products with dagger completions of Leavitt path algebras. If $R$ is a smooth commutative $V$-algebra of relative dimension $1$, then we identify its analytic cyclic homology with Berthelot's rigid cohomology of $R\otimes_{V}\mathbb{F}$.

研究动机与目标

• 为具有特征零分式域的完备离散赋值环V上的完备、无挠bornological代数发展循环同调理论。
• 建立同伦不变性、稳定性、黏合性以及在分析幂零扩张下不变性等基础性质。
• 计算可数图的Leavitt代数与Cohn路径代数的dagger完备化的解析循环同调。
• 将光滑一维V-代数的dagger完备化的解析循环同调与de Rham上同调相等化，并在剩余域特征为正时与Berthelot的刚性上同调一致。
• 通过构建一个在V上定义且不依赖于提升选择的理论，为剩余域上的非交换上同调理论奠定基础。

提出的方法

• 将解析循环pro-复形HA(R)定义为标量扩张T R ⊗V F的X复形的同伦极限，其中T R是与R相关联的完备bornological V-代数的投影系统。
• 通过理想(π)的dagger完备化来定义代数，如有限生成V-代数R的R†。
• 引入分析幂零扩张与分析拟自由pro-代数的概念，以推广同伦不变性。
• 通过V[t]†定义dagger同伦，并证明HA在该类同伦下不变，从而推出在分析幂零扩张下的不变性。
• 证明半分裂pro-代数扩张的黏合定理，从而在同调中产生自然的6项正合列。
• 将该理论应用于相对维数为1的光滑、有限生成、交换V-代数，利用其拟自由性及其与de Rham上同调的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将解析循环同调扩展至具有特征零分式域的完备离散赋值环上的非阿基米德情形？
• RQ2 该新理论的同伦与同调性质为何，例如在同伦下不变性与黏合性？
• RQ3 该理论能否计算路径代数与V[t,t⁻¹]†张量积的dagger完备化的循环同调？
• RQ4 光滑一维V-代数的dagger完备化的解析循环同调是否与de Rham上同调一致？
• RQ5 在剩余域特征为正时，该理论是否能对光滑仿射曲线恢复Berthelot的刚性上同调？

主要发现

• 解析循环同调HA∗(R)在dagger同伦与分析幂零扩张下不变，并对半分裂扩张满足黏合性。
• 对于相对维数为1的光滑、有限生成、交换V-代数R，HA∗(R†)自然同构于R†的de Rham上同调。
• 当剩余域F具有正特征时，该同构与Berthelot的刚性上同调H∗_rig(A,F)在约化A = R/πR下一致。
• R† ⊗V V[t,t⁻¹]†的解析循环同调同构于HA∗(R) ⊕ HA∗(R)[1]，这是K-理论中基本定理的非交换类比。
• 该理论为任意约化A = R/πR提供了自然的、不依赖选择的同构HA∗(A) ≅ HA∗(R†)，从而实现刚性上同调的非交换推广。
• 通过不变性与黏合性，计算了可数图的Leavitt与Cohn路径代数的dagger完备化的解析循环同调。