[论文解读] Non-Associative Algebras and Quantum Physics -- A Historical Perspective

Manfred Liebmann, Horst Rühaak+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文回顾了利用非结合代数推广量子力学的历史努力，重点聚焦于帕斯夸尔·乔丹在约当代数、八元数矩阵代数以及非幂结合结构方面的工作。文章强调了八元数上3×3厄米特矩阵的例外约当代数作为非结合量子形式体系的候选者，并讨论了非结合几何的最新进展及其在统一量子理论与时空结构方面的潜力。

ABSTRACT

We review attempts by Pascual Jordan and other researchers, most notably Lawrence Biedenharn to generalize quantum mechanics by passing from associative matrix or operator algebras to non-associative algebras. We start with Jordan's work from the early 1930ies leading to Jordan algebras and the first attempt to incorporate the alternative ring of octonions into physics. Jordan's work on the octonions from 1932 till 1952 will be covered, discussing aspects of the exceptional Jordan algebra and how to express probabilities when working with the octonions and the exceptional Jordan algebra. From the 1950ies onwards Jordan and others also considered one-sided distributive systems like near-fields, near-rings, quasi-fields and exceptional Segal systems (the last two examples being not necessarily associative). As the set of non-linear operators forms a near-ring and even a near-algebra, this may be of interest for attempts to pass from a linear to a non-linear setting in the study of quantum mechanics. Moreover, ideas introduced in the late 1960ies to use non-power-associative algebras to formulate a theory of a minimal length will be covered. Lawrence Biedenharn's and Jordan's ideas related to non-power-associative octonionic matrix algebras will be briefly mentioned, a long section is devoted to a summary of Horst Rühaak's PhD thesis from 1968 on matrix algebras over the octonions. Finally, recent attempts to use non-associative algebras in physics will be described.

研究动机与目标

• 追溯非结合代数结构在量子力学中的历史发展，特别是帕斯夸尔·乔丹的工作。
• 考察乔丹试图将量子力学推广至结合代数之外的尝试，包括其在八元数和例外约当代数方面的工作。
• 探讨非结合框架的挑战与局限，如约当代数中张量积的失效，以及结合律与幂结合性方面的问题。
• 将历史努力与非结合几何的现代发展联系起来，探讨其在量子引力与粒子物理中的潜力。
• 评估非结合代数（尤其是例外约当代数）在构建具有概率解释的广义量子理论中的可行性。

提出的方法

• 系统性回顾乔丹1930年代至1960年代的未发表与已发表著作，包括其对替代环与八元数的研究。
• 分析霍斯特·吕哈克1968年博士论文中关于八元数上4×4厄米特矩阵的研究，强调其非幂结合结构与弱结合性。
• 考察由非线性算子构成的近环与近代数，源于将量子力学推广至线性框架之外的需求。
• 研究非分配性与非幂结合代数作为量子力学中最小长度理论的候选者。
• 综合现代发展，包括杜波瓦-维奥莱的近乎经典量子几何，以及贝特朗在李-约当代数与广义向量丛方面的工作。
• 使用光滑函数代数与有限维约当代数（如例外约当代数）的张量积来建模非结合量子时空。

实验结果

研究问题

• RQ1 非结合代数（特别是约当代数与八元数矩阵代数）能否为超越结合算子代数的量子力学提供可行的推广？
• RQ2 如何将量子力学的概率解释扩展至非结合结构，如八元数上3×3厄米特矩阵的例外约当代数？
• RQ3 非幂结合性对量子力学中测量公设与谱理论有何影响？
• RQ4 为何张量积无法保持约当代数结构？在多体量子系统背景下，这一障碍如何克服？
• RQ5 杜波瓦-维奥莱与贝特朗提出的非结合几何在多大程度上可作为统一量子引力或粒子物理模型的基础？

主要发现

• 八元数上4×4厄米特矩阵的代数是非幂结合的，且不是约当代数，但其包含一个支持幂等元的约当代数子代数。
• 八元数上3×3厄米特矩阵的例外约当代数为非结合量子形式体系中的概率定义提供了自洽框架。
• 约当代数的张量积不是约当代数，这在非结合量子理论中定义多体态时构成根本性障碍。
• 贝特朗关于李-约当代数与广义向量丛的工作，通过引入同时具有李积与约当积的代数，为张量积问题提供了潜在解决方案。
• 非结合几何（如闵可夫斯基时空上光滑函数与例外约当代数的张量积）已被提出作为近乎经典量子时空的模型。
• 尽管进行了大量努力，仍未构建出完整的洛伦兹不变非幂结合代数来描述空间坐标，尽管已实现二维正交不变的实例。