[论文解读] Non-autonomous conformal graph directed Markov systems

Jason Atnip|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文引入了非自治共形图自导 Markov 系统（NCGDMS），推广了自治与非自治迭代函数系统。在次指数增长和平衡条件之下，建立了 Hausdorff 维数的 Bowen 公式，并证明了对椭圆函数的非自治仿射扰动的 Julia 集的维数下界，将已知结果扩展至非自治和有限非自治设定之外。

ABSTRACT

In this paper we introduce and develop the theory of non-autonomous graph directed Markov systems which is a generalization of the theory of conformal graph directed Markov systems of Mauldin and Urbański, first presented in their book, and the theory of non-autonomous conformal iterated function systems set forth by Rempe-Gillen and Urbański. We exhibit several large classes of functions for which Bowen's formula for Hausdorff dimension holds. In particular we consider weakly balanced finite systems, where we have some control over the growth of the derivatives, and ascending systems. Our results, particularly for ascending systems, generalize and go well beyond what is currently known for autonomous graph directed Markov systems and non-autonomous iterated function systems. We also provide an application to non-autonomous conformal dynamics by estimating the Hausdorff dimension of the Julia set of non-autonomous affine perturbations of an elliptic function from below.

研究动机与目标

• 将共形图自导 Markov 系统的理论推广至具有时间依赖映射和演化顶点集的非自治设定。
• 建立在非自治系统中 Bowen 公式对 Hausdorff 维数成立的条件，特别是针对字母表大小次指数增长和导数平衡的系统。
• 将 Hausdorff 维数结果扩展至非自治共形动力系统，包括对扰动椭圆函数的 Julia 集的应用。
• 通过引入新类如递增系统，放松有限本原性和次指数有界性等假设。
• 为估计非平稳、非自治共形系统中极限集的 Hausdorff 维数提供一个框架，适用于无限或增长的顶点集。

提出的方法

• 引入具有时间依赖映射、顶点集和关联矩阵的非自治共形图自导 Markov 系统（NCGDMS）。
• 对每一步时间的顶点数量施加次指数增长条件：limₙ→∞ (1/n)log#I⁽ⁿ⁾ = 0。
• 应用压强函数技术，并引入导数上的平衡条件：limₙ→∞ (1/n)log(supₐ,ᵦ∈I⁽ⁿ⁾ ||Dφₐ⁽ⁿ⁾|| / ||Dφᵦ⁽ⁿ⁾||) = 0。
• 利用逆分支和共形畸变估计来控制极限集的几何结构并推导压强估计。
• 构造递增系统，其中 I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾，以放松增长约束，并在无严格次指数界条件下证明维数结果。
• 通过分析椭圆函数的仿射扰动，将理论应用于非自治动力系统，并估计其 Julia 集维数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自治共形图自导 Markov 系统中，Hausdorff 维数的 Bowen 公式在何种条件下成立？
• RQ2 在非自治系统中，字母表大小的次指数增长条件能否被放松或移除？
• RQ3 该理论如何应用于估计非自治共形动力系统中 Julia 集的 Hausdorff 维数？
• RQ4 导数平衡与关联矩阵结构在确保 Bowen 公式有效性方面起什么作用？
• RQ5 具有递增顶点集的递增系统能否在自治或有限非自治系统无法达到的范围内提供维数估计？

主要发现

• 在次指数字母表增长和导数平衡条件下，有限本原 NCGDMS 的 Hausdorff 维数满足 Bowen 公式：HD(J_Φ) = B_Φ。
• 对于满足 I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾ 的递增系统，本文建立了推广至已知自治和有限非自治系统之外的维数结果。
• 非自治仿射扰动的椭圆函数的 Julia 集的 Hausdorff 维数有下界 2q/(q+1)，其中 q 为椭圆函数的阶数。
• 在指定条件下，压强函数的零点 B_Φ 被证明等于 Hausdorff 维数，从而在新的非自治设定中确认了 Bowen 公式。
• 证明技术还给出了动力系统 F 的双曲维数的下界，表明其至少为 2q/(q+1)。
• 该框架允许使用无限可数紧集族和时变定义域，显著推广了以往的非自治与自治共形 IFS 理论。