[论文解读] Qualitative graph limit theory. Cantor Dynamical Systems and Constant-Time Distributed Algorithms

Gábor Elek|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Graph theory and applications参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文为稀疏图建立了定性图极限理论，引入自由Cantor作用的弱等价类作为极限对象，并将几乎有限性定义为超有限性的定性类比。证明了弱等价类空间的紧致性，并为几乎有限与强几乎有限图类中的近似问题构造了常数时间分布式算法，同时获得了此类序列的谱收敛结果。

ABSTRACT

The goal of the paper is to lay the foundation for the qualitative analogue of the classical, quantitative sparse graph limit theory. In the first part of the paper we introduce the qualitative analogues of the Benjamini-Schramm and local-global graph limit theories for sparse graphs. The natural limit objects are continuous actions of finitely generated groups on totally disconnected compact metric spaces. We prove that the space of weak equivalent classes of free Cantor actions is compact and contains a smallest element, as in the measurable case. We will introduce and study various notions of almost finiteness, the qualitative analogue of hyperfiniteness, for classes of bounded degree graphs. We prove the almost finiteness of a new class of étale groupoids associated to Cantor actions and construct an example of a nonamenable, almost finite totally disconnected étale groupoid, answering a query of Suzuki. Motivated by the notions and results on qualitative graph limits, in the second part of our paper we give a precise definition of constant-time distributed algorithms on sparse graphs. We construct such constant-time algorithms for various approximation problems for hyperfinite and almost finite graph classes. We also prove the Hausdorff convergence of the spectra of convergent graph sequences in the strongly almost finite category.

研究动机与目标

• 发展定量稀疏图极限理论的定性类比，重点关注有界度图。
• 将自由Cantor作用的弱等价类定义并研究为稀疏图的极限对象。
• 引入并分析图论中几乎有限性作为超有限性的定性对应。
• 为超有限与几乎有限图类中的近似问题定义常数时间分布式算法。
• 证明强几乎有限图序列的谱在Hausdorff意义下的收敛性。

提出的方法

• 使用图中根球的朴素收敛来定义定性图极限，推广Benjamini-Schramm收敛。
• 将极限对象建模为有限生成群在完全不连通紧致度量空间（Cantor空间）上的连续作用。
• 通过稳定作用与几何étale群胚引入几乎有限性，推广超有限性。
• 应用基于局部构造（A型与B型算法）的分布式算法框架，构建划分并近似求解。
• 采用分形构造与递归球覆盖，在Doubling图中实现强几乎有限性。
• 使用谱分析与$(\varepsilon, K_\varepsilon)$-划分，证明强几乎有限类别中谱的Hausdorff收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏图的Benjamini-Schramm收敛的定性类比是什么？其极限对象是什么？
• RQ2 在Cantor作用与étale群胚的语境下，如何定义并表征几乎有限性？
• RQ3 能否为几乎有限图类中的近似问题构造常数时间分布式算法？
• RQ4 自由Cantor作用的弱等价类空间是否紧致？是否包含最小元素？
• RQ5 强几乎有限图序列的谱是否在Hausdorff意义下收敛？

主要发现

• 自由Cantor作用的弱等价类空间是紧致的，并包含最小元素，与可测情形类似。
• 证明了一类与Cantor作用相关的新型étale群胚为几乎有限，扩展了已知几乎有限系统的类。
• 构造了一个非阿贝尔的、几乎有限的完全不连通étale群胚，回答了Suzuki提出的问题。
• 为几乎有限图类中的最大独立集、最大匹配及加权独立子集的近似问题，构造了常数时间分布式算法。
• 对于强几乎有限图序列，谱在Hausdorff度量下收敛，确立了谱的稳定性。
• 证明D-加倍图类为强几乎有限，并通过局部子程序构造了强几乎有限性的分布式算法。