[论文解读] Non-cancellable elements in type affine $C$ Coxeter groups

Dana C. Ernst|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文使用堆组合数学与I型/II型元素分解，对仿射 $C$ Coxeter 群中的不可约元素——即在弱星约化下不可约的元素——进行分类。该分类扩展了先前对类型 $B$ 群的结果，为证明类型 $ frac{1}{2}C$ 的广义 Temperley–Lieb 代数的图示表示的忠实性提供了基础框架，从而支持在无限维情形下的归纳论证。

ABSTRACT

Let $(W,S)$ be a Coxeter system and suppose that $w \in W$ is fully commutative (in the sense of Stembridge) and has a reduced expression beginning (respectively, ending) with $s \in S$. If there exists $t\in S$ such that $s$ and $t$ do not commute and $tw$ (respectively, $wt$) is no longer fully commutative, we say that $w$ is left (respectively, right) weak star reducible by $s$ with respect to $t$. In this paper, we classify the fully commutative elements in Coxeter groups of types $B$ and affine $C$ that are irreducible under weak star reductions. In a sequel to this paper, the classification of the weak star irreducible elements in a Coxeter system of type affine $C$ will provide the groundwork for inductive arguments used to prove the faithfulness of a generalized Temperley--Lieb algebra of type affine $C$ by a particular diagram algebra.

研究动机与目标

• 对在弱星约化下不可约的仿射 $ frac{1}{2}C$ 型 Coxeter 群中的不可约元素进行分类。
• 将不可约元素的分类从有限型 $B$ 扩展至无限仿射 $ frac{1}{2}C$ 情形。
• 为广义 Temperley–Lieb 代数 $ frac{1}{2}C$ 型的图示表示的忠实性提供归纳证明的结构基础。
• 验证 Fan 关于在下降集中缺乏可约生成元的 $B$ 型 Coxeter 群中完全交换元素的未证明断言。
• 建立基于堆与星操作的组合框架，将不可约元素与双侧细胞及 Kazhdan–Lusztig 理论联系起来。

提出的方法

• 利用堆理论对 $B$ 型与 $ frac{1}{2}C$ 型中完全交换元素的约化解进行建模，从而可视化并分析生成元之间的相互作用。
• 通过非交换生成元对 $s,t$ 定义左、右弱星约化，其中 $tw$ 或 $wt$ 会破坏完全交换性。
• 引入 I 型与 II 型元素作为在 $ frac{1}{2}C$ 中对不可约元素进行分类的结构性基本构件。
• 基于堆的分层与覆盖关系使用归纳论证，排除可约配置并识别不可约形式。
• 应用关于堆结构的引理（如引理 5.2.2–5.2.8）以限制约化解中生成元可能的配置。
• 将 $B$ 型不可约元素的分类作为基础情形，构建仿射 $ frac{1}{2}C$ 情形的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱星约化下，仿射 $C$ 型 Coxeter 群中的不可约元素具有何种特征？
• RQ2 $B$ 型 Coxeter 群中的不可约元素与仿射 $ frac{1}{2}C$ 情形中的不可约元素有何关联？
• RQ3 能否通过堆理论方法与归纳分解实现对 $ frac{1}{2}C$ 中不可约元素的分类？
• RQ4 I 型与 II 型元素在构建 $ frac{1}{2}C$ 中不可约元素集合的结构中起何种作用？
• RQ5 不可约分类如何支持广义 Temperley–Lieb 代数 $ frac{1}{2}C$ 型图示表示的忠实性证明？

主要发现

• 在 $B$ 型 Coxeter 群中，不可约元素被完全刻画为交换生成元与特定交错乘积的乘积，从而验证了 Fan 的未证明断言。
• 在 $ frac{1}{2}C$ 型中，不可约元素恰好是 $\mathsf{x}_{\mathcal{O}}$ 与 $\mathsf{x}_{\mathcal{E}}$ 的交错乘积，构成一个无限但完全分类的集合。
• 该分类依赖于通过基于堆的结构约束（特别是对生成元覆盖与分层的约束）排除所有可能的弱星约化。
• 证明表明，$ frac{1}{2}C$ 中的任何不可约元素必须由 $\mathsf{x}_{\mathcal{O}}$ 与 $\mathsf{x}_{\mathcal{E}}$ 的交替块组成，且不存在可约配置。
• 该分类为广义 Temperley–Lieb 代数 $ frac{1}{2}C$ 型图示表示的忠实性归纳证明提供了基础。
• 结果表明，不可约元素恰好是那些在 Temperley–Lieb 代数中单项式基计算表现良好的元素。