[论文解读] A diagrammatic representation of an affine $C$ Temperley--Lieb algebra

Dana C. Ernst|ArXiv.org|May 27, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文構造了仿射 $C$ Temperley–Lieb 代數的圖示表示，作為一個無限秩的結合代數，使用由型 $\widetilde{C}_n$ 的 Coxeter 群中完全交換元素索引的基。透過分類 $W(B_n)$ 和 $W(\widetilde{C}_n)$ 中的弱星不可約元素，作者利用歸納論證確立了圖示同態的忠實性，證明了單射性，儘管在有限秩情形下適用的有限計數技術在此類無限秩情形中不適用。

ABSTRACT

In this thesis, I present an associative diagram algebra that is a faithful representation of a particular Temperley--Lieb algebra of type affine $C$, which has a basis indexed by the fully commutative elements of the Coxeter group of the same type. The Coxeter group of type affine $C$ contains an infinite number of fully commutative elements, and so the corresponding Temperley--Lieb algebra is of infinite rank. With the exception of type affine $A$, all other generalized Temperley--Lieb algebras with known diagrammatic representations are of finite rank. In the finite rank case, counting arguments are employed to prove faithfulness, but these techniques are not available in the affine $C$ case. To prove faithfulness, I classify the fully commutative elements in Coxeter groups of types $B$ and affine $C$ that are irreducible under weak star reductions. The classification of these irreducible elements provides the groundwork for inductive arguments that are used to prove faithfulness. The classification of the weak star irreducible elements of type $B$ also verifies C.K. Fan's unproved claim about about the set of fully commutative elements in a Coxeter group of type $B$ having no generator appearing in the left or right descent set that can be left or right cancelled, respectively. The results of this thesis will be used to construct a trace on the Hecke algebra of type affine $C$, which will then be used to compute leading coefficients of certain Kazhdan--Lusztig polynomials in a non-recursive way.

研究动机与目标

• 提供仿射 $C$ Temperley–Lieb 代數的圖示實現，其為無限秩，原因在於 $W(\widetilde{C}_n)$ 中存在無限多個完全交換元素。
• 透過對弱星不可約元素的分類，克服標準計數論證在證明無限秩代數忠實性時的限制。
• 驗證 C.K. Fan 對 $W(B_n)$ 中完全交換元素（其左/右下降集不含可消去生成元）的未證明陳述。
• 為構造 $\widetilde{C}_n$ 型 Hecke 代數上的跡，奠定基礎，以非遞歸方式計算 Kazhdan–Lusztig 多項式。
• 確立圖示代數 $\mathbb{D}_n$ 為由可接受圖示索引的基，確保對 Temperley–Lieb 代數的忠實表示。

提出的方法

• 使用組合約化與堆表示法，對 $W(B_n)$ 和 $W(\widetilde{C}_n)$ 中的弱星不可約元素進行分類。
• 定義一個帶有裝飾偽圖示的圖示代數 $\mathbb{D}_n$，其中圖示通過乘法規則由基本圖示構造而成。
• 構造一個同態 $\theta: \mathrm{TL}(\widetilde{C}_n) \to \mathbb{D}_n$，將單項式映射至可接受圖示。
• 基於不可約元素的歸納論證，證明不同的單項式映射至不同的圖示，從而確保單射性。
• 應用 Bergman 的 Diamond Lemma，驗證可接受圖示集合構成 $\mathbb{D}_n$ 的基。
• 利用堆表示及其凸子堆的性質，分析圖示中的邊結構與裝飾位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何為無限秩的仿射 $C$ Temperley–Lieb 代數構造一個忠實的圖示表示？
• RQ2 在 $W(B_n)$ 和 $W(\widetilde{C}_n)$ 中，弱星不可約元素的完整分類為何？其如何支援忠實性？
• RQ3 能否利用此分類驗證 C.K. Fan 對 $W(B_n)$ 中完全交換元素的未證明陳述？
• RQ4 圖示代數 $\mathbb{D}_n$ 如何與 $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 的單項式基聯繫？其線性獨立性由何確保？
• RQ5 圖示的哪些結構性質（例如邊連通性、裝飾位置）是確保 $\theta$ 單射性的必要且充分條件？

主要发现

• 圖示代數 $\mathbb{D}_n$ 被證明是 $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 的忠實表示，且同態 $\theta$ 是單射。
• $W(B_n)$ 中弱星不可約元素的分類確認了 C.K. Fan 關於左/右下降集中無可消去生成元的陳述。
• $\mathbb{D}_n$ 中的可接受圖示集合構成基，且 $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ 中的每個單項式均映射至唯一一個可接受圖示。
• $\theta$ 的單射性透過基於不可約元素的歸納約化論證確立，避開了有限計數技術。
• $\mathbf{a}$-值為 0 的圖示即使包含環，也為無裝飾，此點在修訂版本中已明確說明。
• 證明顯示，若某圖示具有從節點 1 到 $1'$ 的單一 $\blacktriangle$ 傳播邊，則其不可能由非類型 I 或 II 的不可約元素產生，否則將導致矛盾。