[论文解读] Non-commutative derived moduli prestacks

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于微分graded结合代数（DGAAs）的导出非交换（NC）模形式，建立了一个不依赖下降性质的导出NC预堆栈框架。通过幂等元参数化构造了局部图册，并引入了作为李代数超代数导出非交换类比的堆栈型DGAAs，使得可通过刚性点恢复不变量，并实现将移位双辛结构与双泊松结构推广至导出NC预堆栈。

ABSTRACT

We introduce a formalism for derived moduli functors on differential graded associative algebras, which leads to non-commutative enhancements of derived moduli stacks and naturally gives rise to structures such as Hall algebras. Descent arguments are not available in the non-commutative context, so we establish new methods for constructing various kinds of atlases. The formalism permits the development of the theory of shifted bi-symplectic and shifted double Poisson structures in the companion paper.

研究动机与目标

• 基于微分graded结合代数（DGAAs）发展非交换代数几何的导出模形式，将导出代数几何从交换设定扩展至非交换设定。
• 通过幂等元参数化与同伦平态态射构造图册，克服非交换设定下缺失下降性质的问题。
• 通过新的堆栈型DGAAs框架，定义并研究导出NC阿廷预堆栈，特别关注完美复形与投影模的模空间。
• 通过堆栈型DGAAs的刚性核心，实现将移位双辛结构与双泊松结构推广至导出NC预堆栈。
• 证明导出NC预堆栈的不变量可从堆栈型DGAA框架中的刚性点恢复，从而将结构分类问题简化为平态函子性。

提出的方法

• 提出将导出NC预堆栈形式化为非负格度DGAAs上的函子，其在CDGAs上限制为交换导出模形式函子，在阿廷DGAAs上限制为非交换形变函子。
• 引入堆栈型DGAAs——具有一个格度用于导出结构、一个格度用于堆栈结构的双格度结合代数，其中等价关系相对于导出格度定义。
• 为导出NC预堆栈$ F $定义其关联的导出预堆栈$ D_*F $，并分离其刚性核心$ (D_*F)_{\mathrm{rig}} $，即对应于适定平态映射的点集合。
• 利用同伦上积与导出左伴随，证明$ D_*F \simeq \mathbf{L}\theta^*(D_*F)_{\mathrm{rig}} $，表明$ D_*F $由其刚性部分完全确定。
• 通过参数化DGAAs中的幂等元，将该理论应用于构造完美复形与投影模模空间的图册。
• 证明从$ F $到结构分类函子$ G $的映射对应于$ D_*F $上的结构，关键结果为仅需$ D_*G $具有同伦平态函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换设定下，如何在不依赖下降性质（其在非交换情形下不成立）的前提下，将导出模形式函子推广至非交换情形？
• RQ2 在导出代数几何中，非交换设定下光滑图册或李代数超代数的适当类比是什么？
• RQ3 当下降不可用时，如何在导出NC预堆栈上定义移位双辛结构与双泊松结构？
• RQ4 导出NC预堆栈的不变量是否可从堆栈型DGAA框架中的刚性点恢复？
• RQ5 导出NC预堆栈$ F $、其关联的堆栈型DGAA预堆栈$ D_*F $与刚性核心$ (D_*F)_{\mathrm{rig}} $之间存在何种关系？

主要发现

• 证明了DGAA上投影模与完美复形的模形式函子为导出NC阿廷∞-预堆栈，确立了该新形式化中的基础示例。
• 通过参数化DGAAs中的幂等元，发展了一种构造图册的新方法，避免了在非交换设定中对下降性质的依赖。
• 证明了与导出NC预堆栈$ F $关联的预堆栈$ D_*F $等价于其刚性核心的导出左伴随：$ D_*F \simeq \mathbf{L}\theta^*(D_*F)_{\mathrm{rig}} $。
• 刚性核心$ (D_*F)_{\mathrm{rig}} $捕获了$ F $的所有本质不变量，使得对$ F $上结构的分类可简化为对$ (D_*F)_{\mathrm{rig}} $上结构的分类。
• 建立了从$ F $到结构分类函子$ G $的映射与从$ D_*F $到$ D_*G $的映射之间的自然弱等价，表明仅需$ D_*G $具有同伦平态函子性。
• 该框架使得移位双泊松与双辛结构可推广至导出NC预堆栈，如附录论文[Pri9]所示，其关键在于归约为刚性堆栈型DGAA设定。