[论文解读] Non-commutative Edmonds' problem and matrix semi-invariants

Gábor Ivanyos, Youming Qiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 50被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在有理数域上求解非交换爱德蒙兹问题的确定性多项式时间算法，该算法基于对矩阵半不变量的界。研究证明，环 $ R(n,m) $ 的零点集由次数至多为 $ (n+1)! $ 的不变量定义，从而得到一个 $ \mathrm{poly}(n, (n+1)!) $-时间算法来判断非交换满秩性，改进了先前的界，并可推广至正特征域。

ABSTRACT

In 1967, Edmonds introduced the problem of computing the rank over the rational function field of an $n imes n$ matrix $T$ with integral homogeneous linear polynomials. In this paper, we consider the non-commutative version of Edmonds' problem: compute the rank of $T$ over the free skew field. It is known that this problem relates to the ring of matrix semi-invariants. In particular, if the nullcone of matrix semi-invariants is defined by elements of degree $\leq σ$, then there follows a $\mathrm{poly}(n, σ)$-time randomized algorithm to decide whether the non-commutative rank of $T$ is $

研究动机与目标

• 为解决非交换爱德蒙兹问题——即在自由斜域上计算具有非交换线性形式的矩阵的秩——通过将问题与矩阵半不变量的不变量理论联系起来。
• 建立 $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $ 作用于 $ n\times n $ 矩阵 $ m $ 元组时，其零点集的定义多项式的次数的紧上界。
• 在假设零点集的定义不变量次数有界的前提下，开发一种确定性算法，用于判断矩阵的非交换秩是否小于 $ n $。
• 将非交换秩算法的适用范围扩展至正特征域，且无需要求域的代数闭包。

提出的方法

• 作者利用古尔维茨的非交换秩计算算法，假设 $ R(n,m) $ 的零点集的定义不变量次数有界 $ \sigma $，从而在 $ \mathbb{Q} $ 上实现确定性 $ \mathrm{poly}(n,\sigma) $-时间算法。
• 他们基于第二条 Wong 序列和正则性引理，构建了一种新算法，通过张量积与 $ M(d,\mathbb{F}) $ 的结构化矩阵提升，逐步增加矩阵空间中的秩。
• 关键技术步骤在于证明：对任意秩为 $ s < n $ 的矩阵空间 $ \mathcal{B} \leq M(n,\mathbb{F}) $，存在 $ d' \leq (n+1)!/(s+1)! $，使得 $ \mathcal{B} \otimes M(d',\mathbb{F}) $ 包含一个秩为 $ rd' $ 的矩阵，其中 $ r = n - s $。
• 他们证明，$ R(n,m) $ 的零点集由次数至多为 $ (n+1)! $ 的不变量定义，利用第二条 Wong 序列的结构性质以及 $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $ 的作用，该结论在正特征域中依然成立。
• 该算法通过迭代方式利用 $ A^{\prime\prime} $ 构造实现秩的增强，并应用引理 5.7（正则性引理）在二维矩阵空间中寻找更高秩的矩阵。
• 他们证明，若可交换秩与非交换秩之间存在常数差距，则存在一种高效的随机算法来计算非交换秩，优于 Fortin 和 Reutenauer 在相等性测试方面的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在假设矩阵半不变量的零点集的定义不变量次数有界的前提下，能否在 $ \mathbb{Q} $ 上以确定性多项式时间求解非交换爱德蒙兹问题？
• RQ2 最小的次数 $ \sigma $ 是多少，使得 $ R(n,m) $ 的零点集由次数至多为 $ \sigma $ 的不变量定义？该界在正特征域上能否显式给出？
• RQ3 若可交换秩与非交换秩之间存在常数差距，是否意味着存在一种高效的随机算法来计算非交换秩？
• RQ4 第二条 Wong 序列能否用于构造一种确定性算法，即使初始矩阵不满秩，也能在矩阵空间中逐步提升秩？
• RQ5 能否在不依赖 $ \mathbb{F} $ 的代数闭包的前提下，对 $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $ 作用于 $ m $ 个 $ n\times n $ 矩阵元组时的半不变量次数进行有界？

主要发现

• 环 $ R(n,m) $ 的矩阵半不变量的零点集由次数至多为 $ (n+1)! $ 的不变量定义，这是在正特征域上首次为该不变量环提供显式的次数界。
• 在 $ \mathbb{Q} $ 上，若假设次数界 $ \sigma = (n+1)! $，则非交换满秩问题可被确定性地在 $ n $ 和 $ (n+1)! $ 的多项式时间内解决，使用古尔维茨算法。
• 当矩阵的可交换秩与非交换秩之间存在常数差距时，存在一种高效的随机算法来计算非交换秩，优于先前仅能测试秩相等性的结果。
• 用于提升矩阵秩的算法运行时间在 $ n $ 和 $ d $ 上为多项式，其中 $ d = (n+1)!/(s+1)! $，且使用 $ \mathrm{poly}(n,d) $ 次算术运算，其位复杂度在 $ n $、$ d $ 和输入大小上为多项式，适用于 $ \mathbb{Q} $。
• 该界 $ \sigma \leq (n+1)! $ 改进了此前在特征为零的代数闭域上的最优界 $ O(n^2 \cdot 4^{n^2}) $，并消除了对代数闭包的需求。
• 结果可推广至正特征域，且 $ (n+1)! $ 的次数界在任意域上均成立，只要满足 $ |\mathbb{F}| = \Omega(nd) $。