[论文解读] Non-enlargeable operators and self-cancelling operators

B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文研究了非可扩大极大单调算子——即其ε-扩大与算子本身完全一致的算子——通过从先前工作中移除对对偶巴拿赫空间和非空内部定义域的假设。研究证明了极大自消去算子是非可扩大的，并在非自反设定下提供了ε-扩大退化为原始算子的条件。

ABSTRACT

The epsilon-enlargement of a maximal monotone operator is a construct similar to the Brøndsted and Rocakfellar epsilon-subdifferential enlargement of the subdifferential. Like the epsilon-subdifferential, the epsilon-enlargement of a maximal monotone operator has practical and theoretical applications. In a recent paper in Journal of Convex Analysis Burachik and Iusem studied conditions under which a maximal monotone operator is non-enlargeable, that is, its epsilon-enlargement coincides with the operator. Burachik and Iusem studied these non-enlargeable operators in reflexive Banach spaces, assuming the interior of the domain of the operator to be nonempty. In the present work, we remove the assumption on the domain of non-enlargeable operators and also present partial results for the non-reflexive case.

研究动机与目标

• 在不假设定义域具有非空内部的前提下，刻画非可扩大极大单调算子。
• 将先前关于ε-扩大的结果从自反巴拿赫空间推广至一般巴拿赫空间。
• 研究极大自消去算子与非可扩大性之间的关系。
• 建立ε-扩大等于算子本身的条件。
• 探讨Fitzpatrick函数及类似伴随构造在刻画非可扩大算子中的作用。

提出的方法

• 使用极大单调算子T的ε-扩大定义：(x,x*) ∈ T^ε 当且仅当对所有 (y,y*) ∈ T，有 ⟨x−y,x*−y*⟩ ≥ −ε。
• 引入自消去算子A的概念，其中 A ⊂ A^† 且 A^† 是单调的，A^† 通过对偶配对定义。
• 应用类似伴随的构造 A^† = {(x,x*) | ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ ≤ 0 对所有 (y,y*) ∈ A} 来定义集合的对偶。
• 利用Fitzpatrick函数 φ_T(x,x*) = sup_{(y,y*)∈T} ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ − ⟨y,y*⟩ 来刻画单调性与非可扩大性。
• 证明：若A是极大自消去算子，则A^† 或 −A^† 是极大单调的，通过内积符号条件的反证法完成。
• 通过分析定义域与值域的闭性及使用弱*拓扑，将结果从自反空间推广至非自反设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极大单调算子是非可扩大的，即对所有 ε ≥ 0，有 T^ε = T？
• RQ2 是否可以在不假设定义域具有非空内部的前提下，刻画算子的非可扩大性？
• RQ3 极大自消去算子与非可扩大算子之间存在何种关系？
• RQ4 在非自反巴拿赫空间中，ε-扩大行为如何？
• RQ5 当A是自消去算子时，其类似伴随算子A^† 何时为极大单调？

主要发现

• 极大自消去算子是非可扩大的，即其ε-扩大与算子本身完全一致。
• 若A是极大自消去算子且D(A)闭，则A是斜的，即A = −A^†，因而非可扩大的。
• 在自反巴拿赫空间中，若A是极大自消去算子且R(A)闭，则A是斜的，因此非可扩大的。
• ε-扩大T^ε在定义域内部关于Hausdorff度量是局部Lipschitz连续的且非空。
• 当A是自消去算子时，构造A^†总是单调的，且在A极大时，A^†或−A^†是极大单调的。
• 本研究消除了在研究非可扩大算子时对定义域具有非空内部的依赖，将结果推广至一般巴拿赫空间。