[论文解读] Non-fillable invariant contact structures on principal circle bundles and left-handed twists

River Chiang, Fan Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文引入辛分数扭转作为德恩扭转在高维接触拓扑中的推广，用于在主圆丛上构造不变接触结构。通过使用带有左手分数扭转的开书，作者表明此类接触流形通常不可填充且代数过度扭曲，即使不包含bLob或源自负稳定化，仍满足威恩斯坦猜想。

ABSTRACT

We define symplectic fractional twists, which generalize Dehn twists, and use these in open books to investigate contact structures. The resulting contact structures are invariant under a circle action, and share several similarities with the invariant contact structures that were studied by Lutz and Giroux. We show that left-handed fractional twists often give rise to non-fillable contact manifolds. These manifolds are in fact "algebraically overtwisted", yet they do not seem to contain bLobs, nor are they directly related to negative stabilizations. We also show that the Weinstein conjecture holds for the non-fillable contact manifolds we construct, and we investigate the symplectic isotopy problem for fractional twists.

研究动机与目标

• 将德恩扭转推广为高维接触拓扑中的辛分数扭转。
• 研究由开书中的左手分数扭转产生的接触结构的可填充性与过度扭曲性质。
• 探讨此类构造中不可填充性、代数过度扭曲性与缺乏bLob或负稳定化之间的关系。
• 确立接触开书具有左手单值性时产生不可填充接触流形的条件。
• 验证通过左手分数扭转构造的不可填充接触流形满足威恩斯坦猜想，并研究分数扭转的辛同胚问题。

提出的方法

• 通过函数 $ f: I \to \mathbb{R} $ 定义辛分数扭转，其中 $ f(0) = 2\pi/\ell $，$ f(1) = 0 $，在边界邻域上诱导一个辛同胚。
• 在李维耶流形 $ W $ 的 $ \ell $-重覆盖 $ \tilde{W} $ 上构造右手和左手分数扭转 $ \tau $ 与 $ \tau^{-1} $，其边界为预量子化边界 $ P $。
• 利用这些扭转定义接触开书 $ \mathrm{OB}(\tilde{W}, \tau^{\pm 1}) $，其对应于光滑流形 $ M_{\pm} $ 上的主圆丛。
• 通过开书分解分析所得接触结构，重点关注 $ S^1 $-不变性与几乎分隔集的结构。
• 应用全纯曲线技巧与指标论证（例如引理 5.2、6.2–6.5）计算接触同调微分，并证明 $ \partial \gamma_1 = \pm 1 $。
• 通过与威恩斯坦模型的连通和论证保持微分结构，并在特定条件下证明接触同调为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在预量子化丛上的开书中，左手分数扭转是否产生不可填充的接触流形？
• RQ2 此类不可填充的接触结构是否可在不包含bLob或非源自负稳定化的情况下实现代数过度扭曲？
• RQ3 威恩斯坦猜想是否对通过左手分数扭转构造的接触流形成立？
• RQ4 在什么条件下，接触开书 $ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^n, \tau^{-1}) $ 对 $ n \geq 2 $ 是不可填充的？
• RQ5 分数扭转在辛同胚下如何行为？此类同胚的障碍是什么？

主要发现

• 左手分数扭转通常产生不可填充的接触流形，且即使不包含bLob或非源自负稳定化，也具有代数过度扭曲性质。
• 接触开书 $ \mathrm{OB}(\tilde{W}, \tau^{-1}) $ 是 $ M_- = (P \times_{S^1,-} D^2) \cup_{\partial} W $ 上的主圆丛，具有 $ S^1 $-不变接触结构，且几乎分隔集微分同胚于 $ P $。
• 当 $ n = 1 $ 时，$ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^1, \tilde{\tau}^{-1}) $ 不是凸半正则填充的，而 $ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^1, \tilde{\tau}) \cong S^5 $ 是李维耶填充的。
• 此类不可填充流形的接触同调为零，如 $ \partial \gamma_1 = \pm 1 $ 所示，且无刚性全纯圆柱或平面贡献于微分。
• 由于存在一个可缩的周期性黎曼轨道，通过左手分数扭转构造的不可填充接触流形满足威恩斯坦猜想。
• 分数扭转的辛同胚问题仍为开放问题，尽管本文提供了此类扭转可通过覆盖技巧延拓并满足指标约束的条件。