[论文解读] Non-geometric Backgrounds and the First Order String Sigma Model

Nick Halmagyi|ArXiv.org|Jun 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 46被引用 47

一句话总结

该论文构建了包含双矢量、二形式及逆度规耦合的一阶弦σ模型，表明非几何背景源于双矢量场的全局性质。通过将拓扑部分提升至膜世界体积，推导出编码Roytenberg括号的一般化Wess-Zumino项，揭示了$(H, F, Q, R)$流系数在对偶性下变换，而双矢量$\Pi^{ij}$仅局部定义，是唯一导致非几何性的根源。

ABSTRACT

We study the first order form of the NS string sigma model allowing for worldsheet couplings corresponding on the target space to a bi-vector, a two-form and an inverse metric. Lifting the topological sector of this action to three dimensions produces several Wess-Zumino like terms which encode the bi-vector generalization of the Courant bracket. This bracket may be familiar to physicists through the (H_{ijk},F_{ij}^{k},Q_i^{jk},R^{ijk}) notation for non-geometric backgrounds introduced by Shelton-Taylor-Wecht. The non-geometricity of the string theory in encoded in the global properties of the bi-vector, when the bi-vector is a section then the string theory is geometric. Another interesting situation emerges when one considers membrane actions which are not equivalent to string theories on the boundary of the membrane. Such a situation arises when one attempts to describe the so-called R-space (the third T-dual of a T^3 with H_3 flux). This model appears to be, at least classically, described by a membrane sigma model, not a string theory. Examples of geometric backgrounds with bi-vector couplings and non-vanishing Q-coefficients are provided by gauged WZW models.

研究动机与目标

• 开发一种基于一阶σ模型与双矢量耦合的非几何弦背景世界面形式化。
• 阐明双矢量$\Pi^{ij}$在编码非几何性中的作用，将其与全局定义的流系数区分开来。
• 从一阶模型的拓扑部分推导出膜作用量，获得一般化Wess-Zumino项。
• 证明$(H, F, Q, R)$流系数在T对偶下变换，而$\Pi^{ij}$非平凡变换，表明其作为几何障碍的角色。
• 提供一种研究非几何背景的框架，超越环面紧化，包括$R$-空间与规范WZW模型。

提出的方法

• 将一阶弦σ模型表述为协变哈密顿量，引入度规、$B$-场与双矢量$\Pi^{ij}$的世界面耦合。
• 通过对空间与时间变量进行勒让德变换，构造作用量$\mathcal{S} = \int_{\Sigma} \left( \eta^{ab} p_a \wedge *p_b + e^a \wedge p_a + B_{ab} e^a \wedge e^b + \Pi^{ab} p_a \wedge p_b \right)$。
• 将作用量的拓扑部分提升至三维膜世界体积，生成以$(H_{ijk}, F_{ij}^k, Q^{ij}_k, R^{ijk})$为系数的一般化Wess-Zumino项。
• 定义$\psi^i = dx^i + \Pi^{ik} p_k$，将膜作用量用广义几何表述，与Roytenberg括号建立联系。
• 证明$(H, F, Q, R)$系数在$O(d,d,\mathbb{Z})$对偶下相互变换，而$\Pi^{ij}$非平凡变换，证实其在非几何性中的作用。
• 将该框架应用于具体例子：具有$H$-流的$T^3$、$Q$-空间、$R$-空间及规范WZW模型，验证其与已知对偶框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一阶世界面σ模型中，通过双矢量耦合一致地表述非几何弦背景？
• RQ2 双矢量$\Pi^{ij}$在区分几何与非几何背景中起什么作用？
• RQ3 $(H, F, Q, R)$流系数如何从一阶σ模型的膜提升中产生？
• RQ4 为何双矢量$\Pi^{ij}$在非几何背景中仅局部定义，而流系数$(H, F, Q, R)$却是全局良好定义的？
• RQ5 该一阶模型能否用于描述$R$-空间作为膜理论而非弦理论？

主要发现

• 包含双矢量耦合的一阶σ模型为弦理论提供了对偶协变的表述，扩展了标准几何设定。
• 拓扑部分的膜提升生成了由$(H, F, Q, R)$系数参数化的广义Wess-Zumino项，实现了Roytenberg括号。
• 双矢量$\Pi^{ij}$无须是$\wedge^2 T_X$的全局截面，可通过$O(d,d,\mathbb{Z})$变换拼接，因此成为非几何性的根源。
• 在所有已知例子中，流系数$(H, F, Q, R)$在T对偶下相互变换，而$\Pi^{ij}$非平凡变换，确认其作为几何障碍的角色。
• $R$-空间（$T^3$上$H$-流的三重T对偶）被证明可由膜σ模型描述，而非弦理论，至少在经典层面成立。
• 规范WZW模型提供了具有非零$Q$-流的几何背景的显式例子，提示NS超引力方程的新解，平衡曲率与$Q$-流。