[论文解读] Non-Haar $p$-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations

Andrei Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich|ArXiv.org|Aug 25, 2008

advanced mathematical theories参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文在 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 中构建了一个新的紧支集非-Haar $p$-进小波基族，确立了其作为 $p$-进伪微分算子（特别是分数阶算子）的本征函数的角色。作者推导出小波成为本征函数的判别准则，并利用这些小波构造了线性和半线性 $p$-进伪微分方程的显式解。

ABSTRACT

In this paper a countable family of new compactly supported {\em non-Haar} $p$-adic wavelet bases in ${\cL}^2(\bQ_p^n)$ is constructed. We use the wavelet bases in the following applications: in the theory of $p$-adic pseudo-differential operators and equations. Namely, we study the connections between wavelet analysis and spectral analysis of $p$-adic pseudo-differential operators. A criterion for a multidimensional $p$-adic wavelet to be an eigenfunction for a pseudo-differential operator is derived. We prove that these wavelets are eigenfunctions of the fractional operator. In addition, $p$-adic wavelets are used to construct solutions of linear and semi-linear pseudo-differential equations. Since many $p$-adic models use pseudo-differential operators (fractional operator), these results can be intensively used in these models.

研究动机与目标

• 在 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 中开发一类新的紧支集小波基，其为非-Haar 型，适用于 $p$-进分析。
• 建立小波分析与 $p$-进伪微分算子谱理论之间的联系。
• 推导出 $p$-进小波成为此类算子本征函数的判别准则。
• 将所构造的小波应用于求解线性和半线性 $p$-进伪微分方程。
• 扩展 $p$-进小波在依赖分数阶算子与伪微分方程的模型中的适用性。

提出的方法

• 通过母小波函数的伸缩与平移，在 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 中构造一个可数的非-Haar $p$-进小波基族。
• 通过加法特征标 $\chi_p$ 与特征函数 $\Omega(|\cdot|_p)$ 定义小波，构成 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 的一组基。
• 利用谱分析推导出多维 $p$-进小波成为伪微分算子本征函数的判别准则。
• 通过算子的符号与小波结构，证明所构造的小波是分数阶 $p$-进算子的本征函数。
• 利用小波基在 $\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$ 中以级数展开形式表示 $p$-进伪微分方程的解。
• 通过小波系数与算子符号，推导出半线性 $p$-进伪微分方程柯西问题的显式解公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 中构造出一类新的紧支集非-Haar $p$-进小波基？
• RQ2 在何种条件下，$p$-进小波是伪微分算子的本征函数？
• RQ3 如何利用 $p$-进小波求解线性和半线性 $p$-进伪微分方程？
• RQ4 $p$-进小波与分数阶算子之间存在何种谱关系？
• RQ5 半线性 $p$-进伪微分方程柯西问题的解能否用小波系数表示？

主要发现

• 在 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 中显式构造出一个可数的紧支集非-Haar $p$-进小波基族。
• 通过算子符号与小波结构的证明，确认这些小波是分数阶 $p$-进伪微分算子的本征函数。
• 基于算子符号与小波系数，推导出 $p$-进小波成为一般伪微分算子本征函数的判别准则。
• 利用小波展开在 Lizorkin 空间 $\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$ 中构造出线性和半线性 $p$-进伪微分方程的显式解。
• 推导出半线性 $p$-进伪微分方程柯西问题的闭式解公式，其表达为小波系数的有限和。
• 当算子符号 $\mathcal{A} \to 0$ 时，解公式仍成立，包括零算子的情形。