[论文解读] Non-Improved Uniform Tail Estimates for Normed Sums of Independent Random Variables with Heavy Tails, with applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Probability and Risk Models参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过从特征函数导出的自然归一化序列，建立了独立同分布重尾随机变量的归一化和的非改进一致尾部估计，适用于所有 $ r \in (0,2) $、$ r=2 $ 和 $ r>2 $ 的情形。主要贡献是针对一致尾部函数 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ 建立了精确的上界，该上界在所有 $ r \in (0,2) $、$ r=2 $ 和 $ r>2 $ 情形下均成立，并在蒙特卡洛方法以及巴拿赫空间中的中心极限定理/稳定极限定理中具有应用价值。

ABSTRACT

We obtain an uniform tail estimates for natural normed sums of independent random variables (r.v.) with regular varying tails of distributions. We give also many examples on order to show the exactness of offered estimates and discuss some applications in the method Monte-Carlo and statistics, and obtain the sufficient conditions for Central and stable limit theorem in the Banach space of continuous function. There are considered a slight generalization on a random variables with super-heavy tails and martingale difference scheme.

研究动机与目标

• 推导独立同分布重尾随机变量归一化和的一致非改进尾部估计。
• 根据底层尾部函数 $ T(x) = \mathbf{P}(|\xi| \geq x) $，刻画一致尾部函数 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ 的行为。
• 利用这些尾部估计，建立巴拿赫空间中连续函数空间内中心极限定理与稳定极限定理的充分条件。
• 将结果推广至超重尾（对数衰减）情形，以及非对称和非同分布情形。
• 在重尾噪声下的蒙特卡洛方法与统计估计中提供应用。

提出的方法

• 将归一化序列 $ b(n) $ 定义为方程 $ \psi_{\xi}(1/b(n)) = n $ 的正解，其中 $ \psi(t) = \mathbf{E}[1 - \operatorname{Re}(e^{it\xi})] $。
• 通过使用对称化特征函数 $ \overline{\psi}(t) = \sup_{\lambda \in (0,1)} \frac{\psi(\lambda t)}{\psi(\lambda)} $ 处理非对称情形。
• 建立一致尾部函数的上界 $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $，该不等式对 $ x > e $ 成立。
• 通过使用 $ L^p $-范数和切比雪夫型不等式，结合矩与尾部比较技术，推导在矩条件下的界。
• 通过假设尾部行为具有统一界：$ C_1 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) \leq T_{\xi(k)}(x) \leq C_2 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $，将结果推广至非同分布随机变量。
• 在非均匀归一化序列情形下，采用奥尔利奇空间框架，定义 $ \|a\|_\psi = \inf\{ t > 0 : \sum_k \psi(|a(k)|/t) \leq 1 \} $，并推导出 $ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \xi(k) $ 是独立同分布且尾部呈正则变化时，归一化和 $ S(n) = b(n)^{-1} \sum_{k=1}^n \xi(k) $ 的精确非改进一致尾部估计是什么？
• RQ2 当 $ \mathbf{P}(|\xi| \geq x) \sim x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $，$ r \in (0,2) $ 时，归一化序列 $ b(n) $ 的渐近行为如何？
• RQ3 是否可以基于底层尾部 $ T(x) $ 对所有 $ n $ 一致地有界一致尾部函数 $ U(x) $，其形式为何？
• RQ4 这些尾部估计对巴拿赫空间中连续函数空间内的中心极限定理与稳定极限定理有何影响？
• RQ5 结果如何推广至非对称、非同分布及超重尾随机变量的情形？

主要发现

• 一致尾部函数满足 $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $，对 $ x > e $ 成立，提供了非改进但精确的一致上界。
• 当 $ r \in (0,2) $ 时，若满足 $ L(X^{1/r} / (\log^\gamma X \, L^{1/r}(\log X))) \asymp L(X) $ 当 $ X \to \infty $，则归一化序列的渐近行为为 $ b(n) \sim n^{1/r} \log^{\gamma/r} n \, L^{1/r}(\log n) $。
• 当 $ \mathbf{E}|\xi|^r < \infty $ 时，对于指数尾部 $ T(x) = \exp(-C x^m) $，$ m \in [1,\infty) $，有尾部估计 $ U(x) \leq \exp(-C_1 x^{\min(m,2)}) $。
• 对于非对称随机变量，若 $ \mathbf{E}\xi = 0 $（当 $ r \in (1,2] $）或截断期望有界（当 $ r=1 $），结果在无需对称性条件下仍成立。
• 在非均匀归一化情形下，对所有满足 $ \|a\|_\psi \leq 1 $ 的序列 $ a $，有 $ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $，推广了均匀情形的结果。
• 通过矩比较得到 $ T_\xi(x) \leq \inf_{p \in [1,r)} \left[ x^{-p} |\eta|_p^p \right] $，提供了一种利用矩信息控制重尾分布的方法。