[论文解读] Non Jordan groups of diffeomorphisms and actions of compact Lie groups on manifolds

Ignasi Mundet-i-Riera|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文通过构造紧致流形——特别是环面与具有有效 SU(τ) 作用的流形的乘积——推广了微分同胚群的非 Jordan 性质，证明其微分同胚群不满足 Jordan 性质。利用作用在环面上主丛上的 Heisenberg 型 p-群，作者表明对于任意大的 p-群，其阿贝尔子群相对于群大小保持较小，从而在原始 T²×S² 例子之外的高维流形中证明了非 Jordan 行为。

ABSTRACT

A recent preprint of Csikós, Pyber and Szabó (arXiv:1411.7524) proves that the diffeomorphism group of $T^2 imes S^2$ is not Jordan. The purpose of this paper is to generalize the arguments of Csikós, Pyber and Szabó in order to obtain many other examples of compact manifolds whose diffeomorphism group fails to be Jordan. In particular we prove that for any $ε>0$ there exist manifolds admitting effective actions of arbitrarily large $p$-groups $Γ$ all of whose abelian subgroups have at most $|Γ|^ε$ elements. Finally, we also recover some results on nonexistence of effective actions of compact connected semisimple Lie group on manifolds.

研究动机与目标

• 将微分同胚群的非 Jordan 性质从原始的 T²×S² 例子推广到更广泛的紧致流形类别。
• 构造在流形上作用的有效 p-群，其阶任意大，且阿贝尔子群大小相对于群阶保持较小。
• 通过环面上的主丛结构与辛形式，推广 Csikós、Pyber 和 Szabó 的方法。
• 恢复某些流形上紧致连通半单李群有效作用不存在的结果。

提出的方法

• 构造一个阶为 p^{2n+r} 的有限 p-群 Γ，通过定义在 T^{2nr} 上的主 SU(τ(n))^{r}-丛上的上循环，作用在 T^{2nr}×X 上。
• 利用 Z_p^{2n} 上的辛形式结构，定义子群 Γ ⊂ (Γ_{n,p})^r，其阿贝尔子群大小受控。
• 通过要求 p ∤ |H|（其中 H 是原始 SU(τ(n))^{r}-作用在 X 上的核）来确保作用的有效性。
• 利用上循环条件 c(γ'γ,θ) = c(γ',γθ)c(γ,θ) 在乘积空间上定义一致的群作用。
• 应用 Olshanskii 引理，通过避免在 r 个辛形式上同时具有稳定子，确保不存在大阿贝尔子群。
• 通过 Γ-等变结构将流形 T^{2nr}×X 识别为平凡 SU(τ(n))^{r}-丛的商，从而实现作用的提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分同胚群的非 Jordan 性质能否从 T²×S² 推广到其他紧致流形？
• RQ2 是否存在支持阶任意大的 p-群有效作用的流形，且其阿贝尔子群大小被 |Γ|^ε 控制（对任意 ε > 0）？
• RQ3 能否通过环面上的主丛与辛形式，推广非 Jordan 微分同胚群的构造？
• RQ4 当基群在具有有限核的流形上作用时，p-群作用在乘积流形 T^{2nr}×X 上何时是有效的？
• RQ5 当 p-群中不存在大阿贝尔子群时，其在微分同胚群中是否意味着非 Jordan 行为？

主要发现

• 对任意 n, r ∈ ℕ，存在函数 τ, M: ℕ → ℕ，使得若 X 允许 SU(τ(n))^{r} 的几乎有效作用且核为 H，则当 p > M(n) 且 p ≡ 1 mod n+1 时，T^{2nr}×X 支持有效 p-群作用。
• 所构造的 p-群 Γ 阶为 p^{2n+r}，当 r=1 时，其任意阿贝尔子群大小至多为 p^{n+1}。
• 当 r > 1 时，Γ 的任意阿贝尔子群大小至多为 p^{2 + r + 4n/r}，其随群阶增长为次线性。
• 只要 p 不整除 |H|（即原始 SU(τ(n))^{r}-作用的核），则该构造可确保在 T^{2nr}×X 上作用的有效性。
• 该方法将原始的 T²×S² 结果推广至更高维环面及与任意支持 SU(τ(n))^{r}-作用的流形 X 的乘积。
• 结果表明，T^{2nr}×X 的微分同胚群不是 Jordan 群，从而将非 Jordan 性质推广至一大类紧致流形。