[论文解读] Submodular approximation: sampling-based algorithms and lower bounds

Zoya Svitkina, Lisa Fleischer|arXiv (Cornell University)|May 7, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用 71

一句话总结

本文提出了基于采样的算法来解决子模优化问题，如子模负载均衡、最稀疏割和平衡割，实现了 $\sqrt{n/\ln n}$ 阶的近似保证，并证明了匹配的下界，确立了这是多项式查询近似能力的固有极限。此外，本文还为在所有位置近似子模函数提供了改进的下界，并识别出在何种结构约束下可实现更紧的近似。

ABSTRACT

We introduce several generalizations of classical computer science problems obtained by replacing simpler objective functions with general submodular functions. The new problems include submodular load balancing, which generalizes load balancing or minimum-makespan scheduling, submodular sparsest cut and submodular balanced cut, which generalize their respective graph cut problems, as well as submodular function minimization with a cardinality lower bound. We establish upper and lower bounds for the approximability of these problems with a polynomial number of queries to a function-value oracle. The approximation guarantees for most of our algorithms are of the order of sqrt(n/ln n). We show that this is the inherent difficulty of the problems by proving matching lower bounds. We also give an improved lower bound for the problem of approximately learning a monotone submodular function. In addition, we present an algorithm for approximately learning submodular functions with special structure, whose guarantee is close to the lower bound. Although quite restrictive, the class of functions with this structure includes the ones that are used for lower bounds both by us and in previous work. This demonstrates that if there are significantly stronger lower bounds for this problem, they rely on more general submodular functions.

研究动机与目标

• 通过用一般子模函数替代简单的目标函数，将经典计算机科学问题（如负载均衡、图割和背包问题）进行推广。
• 研究仅使用对函数值预言机的多项式次数查询时，这些推广问题的可近似性。
• 在多项式时间内建立可实现近似比的紧致上下界。
• 研究在所有位置近似子模函数的极限，特别是针对单调性和两部分结构的情形。
• 识别出在何种结构条件下可实现优于一般 $\sqrt{n/\ln n}$ 阈值的更好近似保证。

提出的方法

• 设计基于采样的算法，通过查询子模函数预言机来构造具有 $\sqrt{n/\ln n}$ 阶保证的近似解。
• 使用在网格上的 $K$-偏置和 $L$-偏置随机游走来分析子模函数沿路径的行为，利用子模性和凹性。
• 应用一系列 $K$-步和 $L$-步来界定单个函数增量的贡献，证明 $K$-步贡献了总增长的常数比例。
• 通过约化到两部分（2P）函数结构以获得更紧的界，表明更强的下界需要更一般的子模函数。
• 利用关于比值 $K/L$ 的归纳法和不等式，证明行走序列中的平衡对维持了子模约束。
• 分析从 $(0,0)$ 到 $(k,l)$ 路径上的函数值，利用凹性和子模性，以 $F(n)$ 为基准下界估计 $f(k,0)$ 和 $f(0,l)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用对函数值预言机的多项式次数查询，子模负载均衡、最稀疏割和平衡割问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 对于具有基数约束的子模最小化问题，$\sqrt{n/\ln n}$ 近似比能否得到改进？
• RQ3 是否存在子模函数的结构类别，使得可实现优于 $\sqrt{n/\ln n}$ 的近似？
• RQ4 仅使用预言机查询时，近似子模函数在所有位置的固有局限性是什么？
• RQ5 能否为近似子模函数建立更紧的下界，特别是在单调性或两部分结构下？

主要发现

• 本文确立了 $\sqrt{n/\ln n}$ 是子模负载均衡、子模最稀疏割和子模平衡割的紧致近似比，上下界完全匹配。
• 证明了对于一般子模函数，该 $\sqrt{n/\ln n}$ 边界是固有的，即任何多项式查询算法都无法做得更好。
• 对于在所有位置近似子模函数的问题，本文提供了新的下界，表明即使对于单调函数，在最坏情况下也无法实现优于 $\Omega(\sqrt{n/\ln n})$ 的近似。
• 作者表明，对于两部分（2P）函数，其中 $f(S)$ 仅依赖于 $|S \cap R|$ 和 $|S \cap \bar{R}|$，可实现接近 $\sqrt{n/\ln n}$ 下界的良好近似保证。
• 结果表明，任何显著更强的子模函数近似下界都必须依赖于超出 2P 类的更一般子模函数。
• 分析表明，$\sqrt{n/\ln n}$ 的障碍源于子模性、凹性以及预言机查询序列结构之间的相互作用。