[论文解读] Noncommutative deformations of sheaves and presheaves of modules

Eivind Eriksen|arXiv (Cornell University)|May 13, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文为环层空间上层和层的模的非交换形变理论建立了非交换形变理论，推广了Laudal对代数上模的形变理论。它利用整体Hochschild上同调建立了障碍理论，并证明了对于良性的τ-仿射开覆盖，拟相干层和层的非交换形变函子是同构的，从而使得在概形和D-概形上通过层的方法进行具体计算成为可能。

ABSTRACT

We describe a noncommutative deformation theory for presheaves and sheaves of modules that generalizes the commutative deformation theory of these global algebraic structures, and the noncommutative deformation theory of modules over algebras due to Laudal. In the first part of the paper, we describe a noncommutative deformation functor for presheaves of modules on a small category, and an obstruction theory for this functor in terms of global Hochschild cohomology. An important feature of this obstruction theory is that it can be computed in concrete terms in many interesting cases. In the last part of the paper, we describe noncommutative deformation functors for sheaves and quasi-coherent sheaves of modules on a ringed space $(X, \mathcal{A})$. We show that for any good $\mathcal{A}$-affine open cover $\mathsf{U}$ of $X$, the forgetful functor $\mathsf{QCoh}(\mathcal{A}) o \mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$ induces an isomorphism of noncommutative deformation functors. \emph{Applications.} We consider noncommutative deformations of quasi-coherent $\mathcal{A}$-modules on $X$ when $(X, \mathcal{A}) = (X, \mathcal{O}_X)$ is a scheme or $(X, \mathcal{A}) = (X, \mathcal{D})$ is a D-scheme in the sense of Beilinson and Bernstein. In these cases, we may use any open affine cover of $X$ closed under finite intersections to compute noncommutative deformations in concrete terms using presheaf methods. We compute the noncommutative deformations of the left $\mathcal{D}_X$-module $\mathcal{O}_X$ when $X$ is an elliptic curve as an example.

研究动机与目标

• 将非交换形变理论从代数上的模扩展到环层空间上的层和层的模。
• 使用整体Hochschild上同调为层的模的非交换形变函子建立障碍理论。
• 在良性的仿射覆盖下，建立拟相干层和层的非交换形变函子之间的函子同构。
• 通过在概形和D-概形上的层水平方法，实现非交换形变的具体计算。

提出的方法

• 形式化小范畴上层的模的非交换形变函子。
• 使用整体Hochschild上同调群为该函子构造障碍理论。
• 在环层空间$(X, \mathcal{A})$上定义层和拟相干层的非交换形变函子。
• 证明对于环层空间$X$的任意良性的$τ$-仿射开覆盖$\mathsf{U}$，从$\mathsf{QCoh}(\mathcal{A})$到$\mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$的遗忘函子诱导出形变函子的同构。
• 将该框架应用于计算椭圆曲线上$\mathcal{O}_X$作为左$\mathcal{D}_X$-模的非交换形变。
• 使用对有限交封闭的仿射覆盖，将全局形变问题约化为层上的局部计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换形变理论如何从代数上的模扩展到环层空间上的层和层的模？
• RQ2 层的模的非交换形变的障碍理论是什么？能否通过Hochschild上同调进行具体计算？
• RQ3 在什么条件下，环层空间上拟相干层和层的非交换形变函子会一致？
• RQ4 在概形或D-概形上，拟相干$\mathcal{A}$-模的非交换形变能否通过仿射覆盖上的层水平方法进行计算？
• RQ5 当$X$为椭圆曲线时，结构层$\mathcal{O}_X$作为左$\mathcal{D}_X$-模的非交换形变是什么？

主要发现

• 小范畴上层的模的非交换形变函子具有通过整体Hochschild上同调计算的障碍理论，使得在许多情况下能够进行具体计算。
• 对于环层空间$(X, \mathcal{A})$的任意良性的$\mathcal{A}$-仿射开覆盖$\mathsf{U}$，遗忘函子诱导出$\mathsf{QCoh}(\mathcal{A})$与$\mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$的非交换形变函子之间的同构。
• 在概形$(X, \mathcal{O}_X)$和D-概形$(X, \mathcal{D})$上，拟相干$\mathcal{A}$-模的非交换形变可通过任何对有限交封闭的仿射开覆盖，利用层的方法进行计算。
• 当$X$为椭圆曲线时，左$\mathcal{D}_X$-模$\mathcal{O}_X$的非交换形变被显式计算，展示了该框架的适用性。
• 层的障碍理论在具体几何设定（如概形和D-概形）中是有效且可计算的。
• 形变函子之间的同构意味着拟相干层上的全局形变问题可约化为在仿射覆盖上的局部层计算。