[论文解读] Noncommutative version of an arbitrary nondegenerated mechanics

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Aug 10, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文提出了一种通用程序，通过在首阶拉格朗日量中引入一个涉及常数反称矩阵 $\theta^{AB}$ 的项，来构建任意非退化力学系统的非交换版本。该系统保持相同的物理自由度数量，其运动方程在 $\theta$-依赖修正下重现原始方程，并诱导出非交换泊松括号 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$，从而在第二步量化时产生具有 Moyal 乘积的量子力学。

ABSTRACT

A procedure to obtain noncommutative version for any nondegenerated dynamical system is proposed and discussed. The procedure is as follow. Let $S=\int dt L(q^A, ~ \dot q^A)$ is action of some nondegenerated system, and $L_1(q^A, ~ \dot q^A, ~ v_A)$ is the corresponding first order Lagrangian. Then the corresponding noncommutative version is $S_N=\int dt[ L_1(q^A, ~ \dot q^A, \~ v_A)+ \dot v_Aθ^{AB}v_B]$. Namely, the system $S_N$ has the following properties: 1) It has the same number of physical degrees of freedom as the initial system $S$. 2) Equations of motion of the system are the same as for the initial system $S$, modulo the term which is proportional to the parameter $θ^{AB}$. 3) Configuration space variables have the noncommutative brackets: $\{q^A, ~ q^B\}=-2θ^{AB}$. It is pointed also that quantization of the system $S_N$ leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

研究动机与目标

• 开发一种适用于任意非退化力学系统的非交换版本的通用方法。
• 确保所得到的非交换系统保留与原始系统相同的物理自由度数量。
• 推导出在非交换参数 $\theta^{AB}$ 的修正下可约化为原始方程的运动方程。
• 建立在非交换形式中，配置空间变量 $q^A$ 获得非平凡泊松括号 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$。
• 证明非交换系统的量化可导致具有 Moyal 乘积的量子力学，类似于非交换场论中的实现。

提出的方法

• 从一个由标准拉格朗日量 $S = \int dt\, L(q^A, \dot{q}^A)$ 描述的非退化力学系统出发。
• 通过引入辅助变量 $v_A$，将系统重写为首阶拉格朗日量形式 $S_1 = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A)\right]$。
• 通过扩展作用量 $S_N = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A) + \dot{v}_A \theta^{AB} v_B\right]$ 构造非交换版本，其中 $\theta^{AB}$ 为常数反称矩阵。
• 推导 $S_N$ 的哈密顿形式，识别出初级约束 $G_A = p_A - v_A = 0$ 和 $T^A = \pi^A - \theta^{AB}v_B = 0$。
• 计算狄拉克括号以处理第二类约束，得到物理变量的非交换泊松括号 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$。
• 证明 $q^A$ 和 $p_A$ 的运动方程与原始系统仅在与 $\theta^{AB}$ 成比例的项上不同，且通过到具有标准括号的变量的正则变换，可实现量化为 Moyal 乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地构造出任意非退化力学系统的非交换版本，且不依赖于原始拉格朗日量的具体形式？
• RQ2 所提出的非交换形式是否保持原始系统的物理自由度数量？
• RQ3 非交换系统中的运动方程与原始系统中的运动方程有何关系，$\theta^{AB}$ 参数在修正中起什么作用？
• RQ4 在非交换形式中，配置空间变量 $q^A$ 的基本泊松括号是什么，它们如何从狄拉克括号结构推导得出？
• RQ5 非交换系统的量化是否导致具有 Moyal 乘积的量子力学实现？如果是，这种实现如何通过变量变换实现？

主要发现

• 由作用量 $S_N$ 定义的非交换系统，其物理自由度数量与原始非退化系统相同。
• 非交换系统中 $q^A$ 和 $p_A$ 的运动方程与原始系统相同，仅多出一个与 $\theta^{AB}$ 成比例的项，具体为 $\dot{q}^A = \frac{\partial H_0}{\partial p_A} - 2\theta^{AB}\frac{\partial H_0}{\partial q^B}$。
• 配置空间变量 $q^A$ 获得非平凡泊松括号：$\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$，该结果由应用于第二类约束的狄拉克括号形式推导得出。
• 该系统的动力学可重新表述为变量 $\tilde{q}^A = q^A - \theta^{AB}p_B$ 和 $\tilde{p}_A = p_A$ 的形式，这些变量满足标准正则泊松括号 $\{\tilde{q}^A, \tilde{p}_B\} = \delta^A_B$，从而可应用标准量化程序。
• 系统的量化导致具有 Moyal 乘积的量子力学，因为哈密顿量变为 $H_0(\tilde{q}^A + \theta^{AB}\tilde{p}_B, \tilde{p}_B) * \Psi(\tilde{q}^C)$，其中 $*$ 表示 Moyal 星积。
• 该方法可推广至退化系统，如其在非交换相对论性粒子中的适用性所示，表明其具有广泛的物理相关性。