[论文解读] Noncrossing partitions of an annulus

Laura G. Brestensky, Nathan Reading|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文为仿射类型 $\widetilde{A}$ 和 $\widetilde{C}$ 中的非交叉划分引入了平面图模型，分别基于环形区域上的非交叉划分以及带有两个轨道点的圆盘上的对称非交叉划分。研究证明了在考克斯eter群的绝对序中区间 $[1,c]_T$ 同构于这些平面模型，并表明在类型 $\widetilde{C}$ 中，翻译元素自然地以单个循环形式实现而无需分解，这与模型的组合结构一致。

ABSTRACT

The noncrossing partition poset associated to a Coxeter group $W$ and Coxeter element $c$ is the interval $[1,c]_T$ in the absolute order on $W$. We construct a new model of noncrossing partititions for $W$ of classical affine type, using planar diagrams (affine types $ ilde A$ and $ ilde C$ in this paper and affine types $ ilde D$ and $ ilde B$ in the sequel). The model in type $ ilde A$ consists of noncrossing partitions of an annulus. In type $ ilde C$, the model consists of symmetric noncrossing partitions of an annulus or noncrossing partitions of a disk with two orbifold points. Following the lead of McCammond and Sulway, we complete $[1,c]_T$ to a lattice by factoring the translations in $[1,c]_T$, but the combinatorics of the planar diagrams leads us to make different choices about how to factor.

研究动机与目标

• 将非交叉划分的平面图模型从有限考克斯eter类型扩展到经典仿射类型 $\widetilde{A}$ 和 $\widetilde{C}$。
• 利用平面图，为仿射考克斯eter群上绝对序中的区间 $[1,c]_T$ 提供几何实现。
• 通过分解翻译元素，解决仿射类型 $\widetilde{A}$ 中 $[1,c]_T$ 的格完成问题，同时表明在类型 $\widetilde{C}$ 中此类分解是不必要的。

提出的方法

• 构造环形区域上的非交叉划分作为类型 $\widetilde{A}$ 的几何模型，其中块由连接内、外同心圆上点的非交叉曲线构成。
• 定义在二阶旋转下不变的环形区域上的对称非交叉划分，其在类型 $\widetilde{C}$ 中下降为带有两个二阶轨道点的圆盘上的非交叉划分。
• 通过轨道投影将仿射考克斯eter群的群元素投影到考克斯eter平面上，以实现平面图。
• 利用考克斯eter平面将群元素的循环结构解释为划分，其中块对应于投影图中的循环。
• 通过研究其循环结构分析 $[1,c]_T$ 中的翻译元素，并证明在类型 $\widetilde{C}$ 中，它们对应于形如 $(\cdots i\; i+2n\cdots)$ 的单个循环，其中 $i$ 属于符号集合。
• 证明将此类翻译分解为两个不相交循环在几何上不一致，因为这些因子在向量空间 $V$ 中不保持根系结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用环形区域的平面图几何模型来表示仿射类型 $\widetilde{A}$ 中的非交叉划分？
• RQ2 仿射类型 $\widetilde{C}$ 中非交叉划分的合适平面模型是什么？它与轨道曲面有何关系？
• RQ3 为何在几何和代数上将 $[1,c]_T$ 中类型 $\widetilde{C}$ 的翻译元素分解为两部分是不合适的，而这种分解在类型 $\widetilde{A}$ 中却是必要的？
• RQ4 非交叉划分的平面图如何反映考克斯eter群上绝对序中区间 $[1,c]_T$ 的结构？
• RQ5 考克斯eter平面在通过群轨道投影实现非交叉划分组合结构中扮演何种角色？

主要发现

• 环形区域上的非交叉划分提供了仿射类型 $\widetilde{A}$ 中区间 $[1,c]_T$ 的完整几何模型，其中块对应于连接内边界与外边界点的非交叉曲线。
• 在类型 $\widetilde{C}$ 中，环形区域上在二阶旋转下不变的对称非交叉划分，其模型同构于带有两个二阶轨道点的圆盘上的非交叉划分。
• 在类型 $\widetilde{C}$ 中，$[1,c]_T$ 中的翻译元素恰好是形如 $(\cdots i\; i+2n\cdots)$ 的置换，其中 $i$ 属于符号集合，且这些元素对应于同时包含两个轨道点和一个编号点的单个块。
• 在向量空间 $V$ 中，$\widetilde{C}$ 类型中翻译元素的循环结构无法分解为保持根系结构的两个不相交循环，因此此类分解在几何上无效。
• 该模型表明，在类型 $\widetilde{C}$ 中，区间 $[1,c]_T$ 本身已是格结构，因此无需进行翻译分解——这与 $\widetilde{A}$ 类型形成对比，后者需要分解才能将区间完成为格。
• 平面模型证实了非交叉划分的组合结构与考克斯eter群的代数结构一致，特别是在翻译元素如何在图中表示为循环方面。