[论文解读] Nonexistence of Generalized Bent Functions From $Z_{2}^{n}$ to $Z_{m}$

Haiying Liu, Keqin Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文利用代数数论，特别是分圆域和虚二次域，建立了从 $\mathbb{Z}_2^n$ 到 $\mathbb{Z}_m$ 的广义 Bent 函数（GBFs）的非存在性结果。证明了当 $m$ 为奇素数幂时，或在 $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ 且满足 $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$，$p_2 \equiv 5 \pmod{8}$，以及 $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = 1$ 的特定条件下，不存在类型为 $\{m,n\}$ 的 GBFs，尤其是当 $n$ 为奇数或相对于类群不变量较小时。

ABSTRACT

Several nonexistence results on generalized bent functions $f:Z_{2}^{n} ightarrow Z_{m}$ presented by using some knowledge on cyclotomic number fields and their imaginary quadratic subfields.

研究动机与目标

• 解决从 $\mathbb{Z}_2^n$ 到 $\mathbb{Z}_m$ 的广义 Bent 函数（GBFs）在不同 $m$ 和 $n$ 下的存在性问题。
• 将已知的非存在性结果从经典布尔 Bent 函数情形（$m=2$）扩展到更高的 $m$。
• 应用代数数论——特别是分圆域和类群结构——推导出新的非存在性定理。
• 刻画在 $n$ 为奇数或 $m$ 具有特定素因子分解时，GBFs 不存在的条件。
• 通过从 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ 到分解域和虚二次子域的域下降技术，推广先前的结果。

提出的方法

• 使用傅里叶变换 $W_f(y) = \sum_{x \in \mathbb{Z}_2^n} (-1)^{x \cdot y} \zeta_m^{f(x)}$，其中 $\zeta_m = e^{2\pi i/m}$，其模长必须恰好为 $2^{n/2}$ 才能构成 GBF。
• 将 $W_f(y)$ 的取值分析为分圆域 $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ 的整数环 $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ 中的代数整数。
• 应用类域论和从 $K$ 衍生出的虚二次子域 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$ 中素理想的分解定律。
• 采用域下降方法：首先从 $K$ 降至 $K$ 中素数 2 的分解域 $M$，再通过范数映射从 $M$ 降至虚二次子域 $T$。
• 利用 $T$ 的理想类群结构，特别是素理想阶和非主理想的存在性，在假设存在 GBF 时导出矛盾。
• 应用二次互反律和勒让德符号条件，如 $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \pm 1$，以限制如 $x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$ 等丢番图方程的可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么 $m$ 和 $n$ 的条件下，不存在从 $\mathbb{Z}_2^n$ 到 $\mathbb{Z}_m$ 的广义 Bent 函数？
• RQ2 能否证明当 $p$ 为奇素数且 $n$ 为奇数时，$m = p^a$ 情形下不存在 GBF？
• RQ3 虚二次域的类群结构在 GBF 非存在性中起什么作用？
• RQ4 在 $\mathcal{O}_T$ 中素理想的分解定律以及相关丢番图方程的可解性如何约束 GBF 的存在性？
• RQ5 从 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ 到 $T$ 的域下降方法能否系统性地应用于复合 $m$ 以推导非存在性结果？

主要发现

• 对于任意奇素数幂 $p^a$ 和任意 $n \geq 1$，不存在类型为 $\{p^a, n\}$ 的广义 Bent 函数，该结论通过分圆域理论和类数论证得以证明。
• 当 $m = 2p^a$ 且 $p \equiv 3,5 \pmod{8}$，或 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 且 2 在 $\mathbb{Z}_p^*$ 中的阶为偶数时，若 $n$ 为奇数，则不存在 GBF。
• 当 $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ 且满足 $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$，$p_2 \equiv 5 \pmod{8}$，以及 $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = 1$ 时，对于奇数 $n$ 或 $n < r/s$（其中 $r$ 是方程 $x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$ 的最小解指数），不存在 GBF。
• 当 $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ 且所有 $p_i \equiv 3 \pmod{8}$ 或所有 $p_i \equiv 5 \pmod{8}$ 时，对于奇数 $n$，不存在 GBF。
• 非存在性是通过证明所需的代数整数 $W_f(y)$ 无法存在于 $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ 中而得出的，其障碍源于虚二次域 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$ 的类群。
• 一个显式例子中，当 $m = 2 \cdot 19^{a_1} \cdot 29^{a_2}$ 时，由于方程 $19x^2 + 29y^2 = 2^{l+2}$ 在 $l < 13$ 时不可解，且 $r = 13$ 是使方程有解的最小值，因此在 $n = 1,3,5,7,9,11$ 时不存在 GBF。