[论文解读] Nonholonomic Mapping Principle for Classical Mechanics in Spaces with Curvature and Torsion. New Covariant Conservation Law for Energy-Momentum Tensor

H. Kleinert|Jan 3, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用 24

一句话总结

本文提出了一种非完整映射原理，将爱因斯坦等效原理推广至具有曲率和挠率的时空，推导出自由无自旋粒子的新作用量，其轨迹因几何挠率力而成为测地线。关键结果是能量-动量张量的修正协变守恒律，通过在梯度挠率情况下引入共形因子 $ e^{\tau} $，将爱因斯坦场方程推广至包含挠率的情形。

ABSTRACT

The lecture explains the geometric basis for the recently-discovered nonholonomic mapping principle which specifies certain laws of nature in spacetimes with curvature and torsion from those in flat spacetime, thus replacing and extending Einstein's equivalence principle. An important consequence is a new action principle for determining the equation of motion of a free spinless point particle in such spacetimes. Surprisingly, this equation contains a torsion force, although the action involves only the metric. This force changes geodesic into autoparallel trajectories, which are a direct manifestation of inertia. The geometric origin of the torsion force is a closure failure of parallelograms. The torsion force changes the covariant conservation law of the energy-momentum tensor whose new form is derived.

研究动机与目标

• 通过非完整坐标映射，将爱因斯坦等效原理推广至具有曲率和挠率的时空。
• 在具有曲率和挠率的时空中，推导自由无自旋粒子的新作用量原理，使其轨迹为非测地线的测地线轨迹。
• 在存在挠率的情况下，重新表述能量-动量张量的协变守恒律。
• 构建爱因斯坦场方程在具有挠率的时空中的自洽扩展，尤其针对梯度挠率情形。
• 通过共形因子 $ e^{\tau} $，建立新守恒律与修正的Bianchi恒等式之间的兼容性。

提出的方法

• 利用多值 tetrad $ e^a_\nu(q) $ 定义非-Schwarzian 坐标变换 $ x^a = x^a(q) $，违反可积性条件 $ \nabla_\nu \nabla_\rho x^a = 0 $，从而生成曲率与挠率。
• 通过 $ \Gamma_{\mu\nu}^\lambda = e^\lambda_a \partial_\mu e^a_\nu $ 从 tetrad 推导仿射联络 $ \Gamma_{\mu\nu}^\lambda $，挠率张量为 $ S_{\mu\nu}^\lambda = \frac{1}{2}(\Gamma_{\mu\nu}^\lambda - \Gamma_{\nu\mu}^\lambda) $。
• 为弯曲且具有挠率的时空中的自由无自旋粒子构造作用量原理（公式16），导出包含挠率力 $ S_{\mu\nu}^\lambda \dot{x}^\nu \dot{x}^\lambda $ 的运动方程（13）。
• 推导能量-动量张量的新协变守恒律（公式47），其与标准形式 $ D_\nu T^\mu{}^\nu = 0 $ 不同，因包含挠率贡献。
• 对于梯度挠率 $ S_{\mu\nu}^\lambda = \frac{1}{2}(\delta_\mu^\lambda \partial_\nu \sigma - \delta_\nu^\lambda \partial_\mu \sigma) $，引入修正场方程 $ e^\sigma G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} $，确保与新守恒律一致。
• 建立Bianchi恒等式 $ D^*_\nu(e^\sigma G^{\mu\nu}) = 0 $，表明修正场方程与新守恒律之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非完整映射将爱因斯坦等效原理推广至具有曲率和挠率的时空？
• RQ2 在具有挠率的时空中，自由无自旋粒子的正确运动方程是什么？它与测地线运动有何不同？
• RQ3 挠率的存在如何改变能量-动量张量的协变守恒律？
• RQ4 爱因斯坦场方程能否一致地扩展以包含挠率？为保持能量-动量守恒，其形式必须如何？
• RQ5 梯度挠率在实现爱因斯坦张量的共形修正以保持与新守恒律一致方面起什么作用？

主要发现

• 非完整映射原理通过不可积坐标变换从平直时空生成具有曲率和挠率的时空，从而为挠率力提供几何起源。
• 在具有挠率的时空中，自由无自旋粒子的运动方程为测地线轨迹（公式13），而非测地线，这是由于存在与速度相关的挠率力 $ S_{\mu\nu}^\lambda \dot{x}^\nu \dot{x}^\lambda $。
• 在存在挠率时，标准守恒律 $ D_\nu T^\mu{}^\nu = 0 $ 失效；新守恒律（公式47）包含涉及挠率张量的附加项。
• 对于梯度挠率（公式56），修正场方程 $ e^\sigma G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} $ 通过Bianchi恒等式 $ D^*_\nu(e^\sigma G^{\mu\nu}) = 0 $ 确保与新守恒律的一致性。
• 当挠率消失时，新守恒律（47）退化为标准形式，确认其在 $ S_{\mu\nu}^\lambda \to 0 $ 极限下与广义相对论的一致性。
• 推导表明，测地线轨迹而非测地线，才是具有挠率的时空中物理意义上的最直路径，为惯性提供了几何基础。