[论文解读] Nonlinear model reduction on metric spaces. Application to one-dimensional conservative PDEs in Wasserstein spaces

Virginie Ehrlacher, Damiano Lombardi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 73被引用 38

一句话总结

该论文在度量空间中针对参数化PDEs发展非线性模型简化，聚焦于Wasserstein space，并引入两种数据驱动方法（tangent-space PCA 和 barycenter-based）以高效逼近1D conservative PDEs的解集。

ABSTRACT

We consider the problem of model reduction of parametrized PDEs where the goal is to approximate any function belonging to the set of solutions at a reduced computational cost. For this, the bottom line of most strategies has so far been based on the approximation of the solution set by linear spaces on Hilbert or Banach spaces. This approach can be expected to be successful only when the Kolmogorov width of the set decays fast. While this is the case on certain parabolic or elliptic problems, most transport-dominated problems are expected to present a slow decaying width and require to study nonlinear approximation methods. In this work, we propose to address the reduction problem from the perspective of general metric spaces with a suitably defined notion of distance. We develop and compare two different approaches, one based on barycenters and another one using tangent spaces when the metric space has an additional Riemannian structure. As a consequence of working in metric spaces, both approaches are automatically nonlinear. We give theoretical and numerical evidence of their efficiency to reduce complexity for one-dimensional conservative PDEs where the underlying metric space can be chosen to be the $L^2$-Wasserstein space.

研究动机与目标

• 在运输占优问题上，激发超越 Banach/Hilbert 空间的模型简化的动机。
• 提出在一般度量空间中的非线性降维方法以捕捉平移与位移。
• 将框架专用于1D中的 L2-Wasserstein space 并分析理论收益。
• 在简单 PDEs 上提供数值证据，显示改进的近似性质。

提出的方法

• 在 metric spaces 中引入两种非线性降维策略：一种基于 tangents（tPCA），另一种使用 barycenters（gBar）。
• 使用 Wasserstein space 上的指数映射/对数映射将解集转化以进行降维。
• 通过在 Wasserstein space 中的最优权重定义并计算快照集合的 barycenters。
• 证明使用 Log_w 将解集变换可在 transport 问题中实现更快的 Kolmogorov 宽度衰减。
• 利用 (P2(Omega), W2) 与 (I, ||·||_L2) 之间的等距性，在变换后在欧几里得 setting 中执行降维。
• 提供纯数据驱动的 online phase，使其在降维空间中无需求解原始 PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 metric spaces 中的模型简化能否超越线性方法用于 transport-dominated PDEs？
• RQ2 tangent-space PCA 和 barycenter-based reductions 能否在 Wasserstein spaces 中提供有效的低复杂度表示？
• RQ3 对 1D conservative PDEs 的解流形，对数变换的影响如何影响 Kolmogorov 宽度？
• RQ4 这些非线性降维对 Burgers、Camassa-Holm 和 KdV-type 方程的计算成本与精度有何影响？

主要发现

• 对于纯运输问题，变换后的宽度 d_n(T, L2([0,1])) 当 n>1 时消失，而原始宽度 d_n(M, L2(Omega)) 的衰减速度不超过 n^-1/2。
• 无粘 Burgers 方程的示例说明先验宽度衰减行为，表明非线性度量基降维可能优于线性方法。
• 对 Burgers’、Camassa-Holm 和 KdV 的数值实验证明 tPCA 和 gBar 能以大幅降低 online 成本来捕捉运输现象（粘性 Burgers’：约 100x 加速）。
• 该框架实现纯数据驱动的 online 仿真，避免在降维空间在线求解原始 PDE。