[论文解读] Nonlinearity Computation for Sparse Boolean Functions

Çağdaş Çalık|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新算法，通过将代数正规形式（ANF）系数中的线性函数距离重新表述，将非线性度计算问题转化为二值整数规划问题，从而实现了对超过40个变量的稀疏布尔函数的非线性度计算，该方法在快速沃尔什变换失效时仍具可行性，为密码学应用提供了可扩展的替代方案。

ABSTRACT

An algorithm for computing the nonlinearity of a Boolean function from its algebraic normal form (ANF) is proposed. By generalizing the expression of the weight of a Boolean function in terms of its ANF coefficients, a formulation of the distances to linear functions is obtained. The special structure of these distances can be exploited to reduce the task of nonlinearity computation to solving an associated binary integer programming problem. The proposed algorithm can be used in cases where applying the Fast Walsh transform is infeasible, typically when the number of input variables exceeds 40.

研究动机与目标

• 解决变量超过40个的布尔函数非线性度计算的不可行性问题。
• 开发一种绕过快速沃尔什变换的方法，该方法在高变量数量下变得不切实际。
• 利用ANF系数的结构特性，将非线性度计算表述为二值整数规划问题。
• 为密码学设计中的非线性度评估提供可扩展的解决方案，尤其适用于稀疏函数。

提出的方法

• 通过布尔函数的ANF系数，将该函数到每个线性函数的汉明距离表达出来。
• 该公式揭示了距离表达式中的特殊结构，从而可应用优化技术。
• 问题被简化为求解一个二值整数规划问题，以最小化到最近线性函数的距离。
• 该算法利用ANF中的稀疏性，限制整数规划中的变量和约束数量。
• 通过仅关注ANF中相关的单项式，避免了完整枚举。
• 整数规划的解给出了最小距离，从而直接得出函数的非线性度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于快速沃尔什变换失效的、变量超过40个的布尔函数，能否高效计算其非线性度？
• RQ2 如何利用代数正规形式（ANF）系数，以揭示可利用结构的方式表达到线性函数的距离？
• RQ3 是否可以将非线性度计算重新表述为二值整数规划问题？
• RQ4 ANF系数的哪些结构特性使得稀疏函数的计算复杂度得以降低？
• RQ5 所提出的方法在高维稀疏布尔函数的可扩展性方面，能否优于现有方法？

主要发现

• 成功利用ANF系数对非线性度计算问题进行了重新表述，开辟了新的计算路径。
• 该方法将非线性度计算简化为一个二值整数规划问题，即使对于超过40个变量的函数也能求解。
• 由于ANF中单项式项有限，该算法在稀疏布尔函数上特别有效，显著减少了问题规模。
• 该方法避免了快速沃尔什变换的O(n·2^n)时间复杂度，使其在高维情况下依然可行。
• 与基于启发式或近似的方法不同，该方法可实现非线性度的精确计算。
• 该算法在需要对大规模稀疏函数进行非线性度评估的密码学应用中，展现出实际可行性。