[论文解读] Nonlinearity of some subgroups of the planar Cremona group

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过嵌入任意高幂零类的幂零群，构造了复平面上射影变换群中一个有限生成的、3-可解的子群，该子群在任意域上均为非线性的。关键结果是此类子群——特别是递增幂零群 Γₙ 的并集——无法拥有忠实的线性表示，从而证明了在任意域上，Aut(ℂ²) 和整个自同构群的非线性性。

ABSTRACT

We give some examples of non-nilpotent locally nilpotent, and hence nonlinear subgroups of the planar Cremona group.

研究动机与目标

• 构造复平面上射影变换群 Cr₂(ℂ) 中一个有限生成的、非线性子群。
• 证明 Cr₂(K) 的某些局部幂零子群在任意域上均非线性，即使在特征零情况下亦然。
• 通过证明整个射影变换群在任意域上均无非平凡的有限维线性表示，扩展 Cerveau 和 Déserti 的结果。
• 研究自同构群 Aut(ℂ²) 的表示理论，表明其在任意域上均非线性。

提出的方法

• 在 Cr₂(ℂ) 中构造一族由 s₁ 和 α_Xⁿ 生成的子群 Γₙ，其中 s₁ 将 x 平移 1，α_f 将 f(x) 加到 y 上。
• 在特征零下，利用迭代换位子 [s₁, [s₁, ..., [s₁, α_Xⁿ]...]] = α_ΔⁿXⁿ，证明 Γₙ 的幂零类恰好为 n+1。
• 证明并集 Γ_∞ = ⋃Γₙ 是局部幂零的，并且包含幂零类任意大的子群。
• 利用在任意线性表示中，无界类的幂零群无法嵌入固定维数的 GL_d(F) 中这一事实，导出矛盾。
• 利用 Jonquières 子群的结构和共轭关系来控制群运算。
• 应用 Birkhoff 引理，表明包含所有 Γₙ 的子群 G ⊂ Cr₂(ℂ) 的表示必为平凡表示，从而推出非线性性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 Cr₂(ℂ) 中一个有限生成的子群，在任意域上均非线性？
• RQ2 Cr₂(K) 的局部幂零子群是否可能在其有限生成子群中具有无界的幂零类长度？
• RQ3 自同构群 Aut(ℂ²) 在任意域上是否为线性群？
• RQ4 平面射影变换群 Cr₂(K) 是否在任意域上存在非平凡的有限维线性表示？
• RQ5 在特征零下，Aut(ℂ²) 的有限生成子群是否可能不存在忠实的线性表示？

主要发现

• 由 s₁、α₁ 和 μ_X 生成的子群 G ⊂ Cr₂(ℚ) 是 3-可解的，且在任意域上均非线性。
• 当 char(K) = 0 时，子群 Γₙ ⊂ Cr₂(ℂ) 的幂零类恰好为 n+1，且随着 n 增大，其幂零类长度无界增长。
• 并集 Γ_∞ = ⋃Γₙ 是局部幂零的，但在任意域上均非线性，因为它包含幂零类任意大的子群。
• 整个自同构群 Aut(ℂ²) 在任意域上均非线性，因为它包含 Γ_∞。
• 平面射影变换群 Cr₂(K) 在任意域上均无非平凡的有限维线性表示，扩展了 Cerveau 和 Déserti 的结果。
• Cr₂(K) 的任意线性表示必为平凡表示，因为其通过单群 PGL₃(K) 因子化，而 PGL₃(K) 虽作用非平凡，但无法在有界维数 d 的 GL_d(F) 中被忠实表示。