[论文解读] Nonlocal Schrödinger-Kirchhoff equations with external magnetic field

Mingqi Xiang, Patrizia Pucci+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 13

一句话总结

该论文通过变分法研究了带有外部磁势的非局部分数阶薛定谔-基尔霍夫方程解的存在性与多重性。通过应用山路定理、Nehari方法及对称山路定理，证明了在超线性和亚线性情形下存在最小能量解，并在一般非线性条件下，于超线性-亚线性情形下证明了无穷多解的存在性。

ABSTRACT

The paper deals with existence and multiplicity of solutions of the fractional Schrödinger--Kirchhoff equation involving an external magnetic potential. As a consequence, the results can be applied to the special case \begin{equation*} (a+b[u]_{s,A}^{2θ-2})(-Δ)_A^su+V(x)u=f(x,|u|)u\,\, \quad ext{in $\mathbb{R}^N$}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $N>2s$, $a\in \mathbb{R}^+_0$, $b\in \mathbb{R}^+_0$, $θ\in[1,N/(N-2s))$, $A:\mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}^N$ is a magnetic potential, $V:\mathbb{R}^N ightarrow \mathbb{R}^+$ is an electric potential, $(-Δ)_A^s$ is the fractional magnetic operator. In the super- and sub-linear cases, the existence of least energy solutions for the above problem is obtained by the mountain pass theorem, combined with the Nehari method, and by the direct methods respectively. In the superlinear-sublinear case, the existence of infinitely many solutions is investigated by the symmetric mountain pass theorem.

研究动机与目标

• 研究带有外部磁势的非局部分数阶薛定谔-基尔霍夫方程解的存在性与多重性。
• 将变分法推广至具有广义基尔霍夫函数与非线性项的分数阶磁性情形。
• 利用山路定理与Nehari方法，建立在超线性和亚线性情形下最小能量解的存在性。
• 通过对称山路定理，证明在超线性-亚线性情形下存在无穷多解。
• 验证在磁性分数阶Sobolev空间中相关能量泛函的(Palais-Smale)条件。

提出的方法

• 将问题表述为带有磁算子$(-\Delta)_A^s$的分数阶薛定谔-基尔霍夫方程，该算子通过涉及磁势$A$的非局部积分算子定义。
• 在加权磁性分数阶Sobolev空间$H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$上定义能量泛函$\mathcal{I}(u)$，其范数包含Gagliardo半范数与势$V$。
• 应用山路定理，证明在超线性情形下最小能量解的存在性。
• 采用Nehari方法，识别超线性情形下的基态解。
• 对亚线性情形使用变分法的直接法，获得最小能量解。
• 利用对称山路定理，在超线性-亚线性情形下证明无穷多解的存在性，借助亏格理论与紧致性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带有外部磁场的分数阶薛定谔-基尔霍夫方程至少存在一个非平凡解？
• RQ2 能否在非线性项的超线性和亚线性增长范围内均建立最小能量解的存在性？
• RQ3 基尔霍夫函数$M$与非线性项$f$需满足何种条件，才能保证无穷多解的存在？
• RQ4 磁势的存在如何影响相关能量泛函的变分结构与紧致性？
• RQ5 在磁性分数阶Sobolev空间中，能量泛函是否满足(Palais-Smale)条件，从而保证Palais-Smale序列的收敛性？

主要发现

• 通过山路定理与Nehari方法，在超线性情形下建立了至少一个最小能量解的存在性。
• 在亚线性情形下，通过变分法的直接法获得最小能量解。
• 在超线性-亚线性情形下，对称山路定理导出无穷多组几何上互异的解。
• 能量泛函在$H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$中满足(PS)条件，确保Palais-Smale序列的收敛性。
• 在$M$、$f$、$V$与$A$的一般假设下（包括$M(0) = 0$的退化情形）结果成立。
• 证明依赖于Brezis-Lieb引理及$L^2$与$L^p$空间中的范数收敛性，以在弱收敛序列中取极限。