[论文解读] Nonlocal symmetries of Lax integrable equations: a comparative study

H. Baran, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过在谱参数中展开Lax对，利用无限维微分覆盖构造，研究了四个Lax可积的3维偏微分方程——rdDym方程、3D Pavlov方程、通用层级方程和修正Veronese网方程——的非局部对称性。结果表明，这四个方程的非局部对称代数结构同构，均由Witt代数、直线上的向量场代数以及环路代数的半直积构成；其中，修正Veronese网方程由于缺乏缩放对称性，表现出一种独特的非分级结构。

ABSTRACT

We continue here the study of Lax integrable equations. We consider four three-dimensional equations: (1) the rdDym equation $u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}$, (2) the 3D Pavlov equation $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$; (3) the universal hierarchy equation $u_{yy} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$, and (4) the modified Veronese web equation $u_{ty} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$. For each equation, using the know Lax pairs and expanding the latter in formal series in spectral parameter, we construct two infinite-dimensional differential coverings and give a full description of nonlocal symmetry algebras associated to these coverings. For all the for pairs of coverings, the obtained Lie algebras of symmetries manifest similar (but not the same) structures: the are (semi) direct sums of the Witt algebra, the algebra of vector fields on the line, and loop algebras; all of them contain a component of finite grading. We also discuss actions of recursion operators on shadows (in the sense of [I.S.Krasil'shchik, A.M. Vinogradov, Acta Appl. Math., 15 (1989) 1-2, 161--209.]) of nonlocal symmetries.

研究动机与目标

• 通过源自Lax对的微分覆盖，系统分析四个Lax可积3D PDE的非局部对称代数结构。
• 确定尽管形式不同，这些方程在非局部对称代数结构上是否具有共同特征。
• 研究递归算子和缩放对称性在塑造对称代数的分级与结构中的作用。
• 探索Bäcklund自变换的存在性，特别是针对修正Veronese网方程。
• 阐明在对称构造中起关键作用的算子$\mathcal{Y}$的不变几何意义。

提出的方法

• 通过在谱参数的形式洛朗级数中展开Lax对，为每个方程构造两个无限维微分覆盖。
• 利用覆盖形式化方法推导非局部对称的完整李代数，重点关注其张量（shadow）及其代数结构。
• 分析递归算子对非局部对称张量的作用，以理解对称的生成与封闭性。
• 将对称代数识别并分类为Witt代数$\mathfrak{W}$、直线$\mathbb{R}^1$上的向量场代数$\mathfrak{V}[\rho]$以及环路代数$\mathfrak{L}[\rho]$的半直积。
• 使用Jets软件进行喷层、对称性和李括号关系的符号计算。
• 对比各方程之间的对称代数结构，特别关注修正Veronese网方程在分级与分量结构上的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管形式不同，四个Lax可积3D方程——rdDym方程、3D Pavlov方程、通用层级方程和修正Veronese网方程——是否具有同构的非局部对称代数？
• RQ2 缩放对称性的有无如何影响非局部对称代数的分级与结构？
• RQ3 递归算子在这些覆盖中对非局部对称张量的生成与作用中起什么作用？
• RQ4 能否为修正Veronese网方程构造一个Bäcklund自变换，其与其它方程的关系如何？
• RQ5 在对称构造中频繁出现的算子$\mathcal{Y}$背后，存在何种几何或代数不变量？

主要发现

• 四个方程的非局部对称代数均为Witt代数$\mathfrak{W}$、直线$\mathbb{R}^1$上的向量场代数$\mathfrak{V}[\rho]$以及环路代数$\mathfrak{L}[\rho]$的半直积。
• rdDym方程、3D Pavlov方程和通用层级方程的对称代数因具有缩放对称性而具有分级结构，而修正Veronese网方程的代数则缺乏这种分级。
• 修正Veronese网方程的对称代数额外包含$\mathfrak{V}[t]$分量，使其与其他方程相区别。
• 递归算子在非局部对称张量上非平凡作用，且在所有方程中均保持代数结构不变。
• 通过变量替换$x \leftrightarrow y$，为修正Veronese网方程构造了Bäcklund自变换，使其与自身的Lax系统相联系。
• 尽管结构存在差异，四个方程均表现出深刻的可积性特征：具有不可消除参数的Lax对、线性退化性，以及相互之间的Bäcklund关系。