[论文解读] Nonnegative Ricci curvature, almost stability at infinity, and structure of fundamental groups

Jiayin Pan|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在无穷远处的万有覆叠满足某种稳定性条件下，证明了具有非负 Ricci 曲率的开 $n$-流形的基本群是有限生成的，并且本质上是交换的：若所有在无穷远处的切锥都是与固定空间在 Gromov-Hausdorff 距离上 $
\epsilon$-接近的度量锥，则 $π_1(M)$ 包含一个有限指数的正规自由交换子群，其指数由仅依赖于 $n$ 和体积增长的常数控制。该结果证实了 Milnor 猜想的一个部分情形，并将 Bieberbach 定理推广至 Ricci 曲率情形。

ABSTRACT

We study the fundamental group of an open $n$-manifold $M$ of nonnegative Ricci curvature with additional stability condition on $\widetilde{M}$, the Riemannian universal cover of $M$. We prove that if any tangent cone of $\widetilde{M}$ at infinity is a metric cone, whose cross-section is sufficiently Gromov-Hausdorff close to a prior fixed metric space, then $π_1(M)$ is finitely generated and contains a normal abelian subgroup of finite index; if in addition $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth of constant at least $L$, then we can bound the index of that abelian subgroup in terms of $n$ and $L$. In particular, our result implies that if $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth of constant at least $1-ε(n)$, then $π_1(M)$ is finitely generated and $C(n)$-abelian.

研究动机与目标

• 解决 Milnor 关于具有非负 Ricci 曲率的开流形基本群有限生成性的一个部分猜想。
• 通过万有覆叠在无穷远处的几何稳定性条件，将 Bieberbach 定理从平坦流形推广至 Ricci 曲率情形。
• 基于体积增长与到模型空间的 Gromov-Hausdorff 距离，建立 $π_1(M)$ 中交换子群指数的统一有界性。
• 引入并运用万有覆叠在无穷远处切锥的“几乎无穷远处稳定性”条件，以控制 $π_1(M)$ 的代数结构。

提出的方法

• 引入无穷远处 $(C(X), \epsilon)$-稳定性的概念，要求万有覆叠 $;tilde{M}$ 在无穷远处的所有切锥均为与固定空间 $X$ 在 Gromov-Hausdorff 距离上 $
  \epsilon$-接近的度量锥。
• 利用等变 Gromov-Hausdorff 收敛分析 $π_1(M)$ 在 $;tilde{M}$ 无穷远处的作用。
• 应用 Schur 引理以及紧致幂零李群的结构结果，对作用于极限空间上的等距群的交换子群 $[K,K]$ 进行有界。
• 通过体积增长与 Gromov-Hausdorff 稳定性，建立作用于极限空间上的等距群的中心与交换子群指数的统一有界性。
• 利用 $;tilde{M}$ 收敛至极限空间以及作用的稳定性，推导出 $π_1(M)$ 的有限生成性与本质上交换的结构。
• 利用体积增长条件确保切锥接近 $C(S^{n-1})$，从而在 $X = S^{n-1}$ 的情形下应用稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $
  \mathrm{Ric} \geq 0$ 的开 $n$-流形万有覆叠 $;tilde{M}$ 的何种几何条件下，$π_1(M)$ 是有限生成的？
• RQ2 当 $;tilde{M}$ 的欧几里得体积增长接近 1 时，$π_1(M)$ 的本质上交换结构是否可被确立？
• RQ3 在体积增长与切锥的 Gromov-Hausdorff 稳定性条件下，$π_1(M)$ 中正规交换子群的指数是否存在统一有界？
• RQ4 切锥在无穷远处的“几乎稳定性”条件如何控制 $π_1(M)$ 的代数结构？
• RQ5 当切锥具有变化的维数但彼此在 Gromov-Hausdorff 距离上统一接近时，结果是否可推广？

主要发现

• 若 $;tilde{M}$ 具有至少 $1 - \epsilon(n)$ 的欧几里得体积增长常数，则 $π_1(M)$ 是有限生成的，并且包含一个有限指数的正规自由交换子群，其指数至多为仅依赖于 $n$ 的常数 $C(n)$。
• 在体积增长条件下，该交换子群的指数被统一有界于 $C(n)$，后者仅依赖于维数 $n$。
• 当 $;tilde{M}$ 在无穷远处为 $(C(S^{n-1}), \epsilon)$-稳定时，基本群 $π_1(M)$ 是有限生成的，并且是 $C(n)$-交换的。
• 证明建立了对极限空间 $Z$ 上作用的等距群 $K$ 的交换子群 $[K,K]$ 大小的统一有界性 $C_2(n,L)$，其中 $L$ 为体积增长。
• 通过 Schur 引理以及紧致幂零李群的恒同连通分支为中心这一事实，控制了极限空间上等距群的结构。
• 利用等变 Gromov-Hausdorff 收敛的反证法表明 $[K:Z(K)]$ 是统一有界的，从而在 $π_1(M)$ 中导出一个有限指数的交换子群。