[论文解读] Nonparametric estimation of the fragmentation kernel based on a PDE stationary distribution approximation

Van Hà Hoang, Thanh Mai Pham Ngoc+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Statistical Methods and Inference参考文献 51被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种非参数估计方法，用于在大小结构化的细胞分裂模型中估计碎片化核函数，方法基于对稳态分布的PDE近似。通过求解源自PDE特征值结构的基于傅里叶的去卷积问题，该方法在大种群极限下实现了相合性，且通过重采样选择带宽，以确保实际应用中的鲁棒性。

ABSTRACT

We consider a stochastic individual-based model in continuous time to describe a size-structured population for cell divisions. This model is motivated by the detection of cellular aging in biology. We address here the problem of nonparametric estimation of the kernel ruling the divisions based on the eigenvalue problem related to the asymptotic behavior in large population. This inverse problem involves a multiplicative deconvolution operator. Using Fourier technics we derive a nonparametric estimator whose consistency is studied. The main difficulty comes from the non-standard equations connecting the Fourier transforms of the kernel and the parameters of the model. A numerical study is carried out and we pay special attention to the derivation of bandwidths by using resampling.

研究动机与目标

• 估计控制大小结构化随机模型中不对称细胞分裂的碎片化核函数 h(γ)。
• 解决从观测到的种群大小分布中恢复 h(γ) 的逆问题，当分裂树未被观测时。
• 基于个体模型的PDE近似所得到的渐近稳态分布，开发一种非参数估计器。
• 在大种群极限（K → ∞）下确保估计器的相合性，并通过重采样推导带宽选择规则。
• 处理核函数 h 与稳态分布特征函数之间的非标准傅里叶关系。

提出的方法

• 使用连续生长和以速率 R 进行二元分裂的随机个体基础过程来建模种群动态。
• 通过其稳态解与碎片化核函数 h(γ) 相关联的PDE，近似细胞大小的经验测度。
• 推导与PDE稳态解相关的特征值问题，从而得到与 h(γ) 相关的特征函数 M*(ξ)。
• 利用傅里叶反演，将核函数 h(γ) 表示为涉及 M*(ξ) 与大小分布特征函数的去卷积问题。
• 使用经验特征函数构造 h(γ) 的非参数核类型估计器，并通过重采样（如自助法）应用带宽选择。
• 通过在傅里叶空间中控制均方误差，利用伯恩斯坦与罗森塔尔不等式控制估计误差，建立估计器的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当分裂树未被观测时，是否能从大种群的稳态大小分布中一致地估计碎片化核函数 h(γ)？
• RQ2 基于PDE稳态分布的非参数估计器在偏差与方差方面表现如何，特别是在高频傅里叶分量中？
• RQ3 在噪声或有限样本的傅里叶估计下，该核估计器的最优带宽选择策略是什么？
• RQ4 连接 h(γ) 与稳态分布的非标准傅里叶方程如何影响估计过程及其理论性质？
• RQ5 基于重采样的带宽选择在多大程度上改善了估计器的有限样本性能？

主要发现

• 所提出的碎片化核函数 h(γ) 的非参数估计器在大种群极限（K → ∞）下具有一致性。
• 估计器的均方误差在傅里叶空间中被有界为 C · min{1/|M*(ξ)|², n⁻¹/|M*(ξ)|⁴}，其中 M*(ξ) 是大小分布的特征函数。
• 通过重采样（如自助法）进行的带宽选择被证明能有效稳定估计器并改善有限样本性能。
• 该方法处理了由PDE特征值问题引发的非标准去卷积结构，该结构通过一个复杂的特征函数将核函数 h(γ) 与稳态分布联系起来。
• 利用伯恩斯坦与罗森塔尔不等式推导出理论界，以控制经验特征函数与其期望之间的偏差。
• 数值研究证实了该估计器的可行性与鲁棒性，尤其当核函数 h(γ) 关于 1/2 对称时，这与生物学模型中的预期一致。