[论文解读] Nonrepetitive Colourings of Planar Graphs with $O(\log n)$ Colours
本文建立了平面图非重复色数的对数上界 $ O(/log n) $，显著优于先前的 $ O(\sqrt{n}) $ 上界。该方法基于平面分离器和分层的递归分解，结合一个四色定理引理以确保非重复着色，最终证明任意 $ n $ 个顶点的平面图 $ G $ 满足 $ \pi(G) \leq 8(1 + \log_{3/2} n) $。
A vertex colouring of a graph is \emph{nonrepetitive} if there is no path for which the first half of the path is assigned the same sequence of colours as the second half. The \emph{nonrepetitive chromatic number} of a graph $G$ is the minimum integer $k$ such that $G$ has a nonrepetitive $k$-colouring. Whether planar graphs have bounded nonrepetitive chromatic number is one of the most important open problems in the field. Despite this, the best known upper bound is $O(\sqrt{n})$ for $n$-vertex planar graphs. We prove a $O(\log n)$ upper bound.
研究动机与目标
- 解决平面图是否具有有界非重复色数这一长期悬而未决的开放问题。
- 将平面图非重复色数的最佳已知上界从 $ O(\sqrt{n}) $ 提升至 $ O(\log n) $。
- 提供一种基于递归分解与分层的构造性方法，用于平面图的非重复着色。
- 将结果推广至有界路径长度的非重复着色，证明 $ c^{k^2} $ 种颜色足以避免长度至多为 $ 2k $ 的重复着色路径。
提出的方法
- 使用基于平面分离器的递归算法，将图分解为重叠受控的子图。
- 应用 Kündgen 和 Pelsmajer 的四色定理引理，确保任何重复着色路径在其两半部分具有相同的层模式。
- 在递归调用中为顶点定义深度和标签属性，形成由三部分组成的复合着色：四色着色、深度和标签。
- 利用 Jordan 曲线定理构造图的两个子图 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的分离，确保重叠和大小的有界性。
- 利用 $ H $-无小生图（对于尖顶图 $ H $）的直径-树宽性质，限制局部区域内的树宽，从而实现子图的非重复着色。
- 通过周期性重复子图着色构造复合着色 $ \psi(v) = (\phi_0(v), \dots, \phi_{2k-1}(v)) $，以避免短重复着色路径。
实验结果
研究问题
- RQ1平面图的非重复色数能否被一个增长慢于 $ O(\sqrt{n}) $ 的函数所界定？
- RQ2是否可能对所有平面图实现 $ o(\log n) $ 的非重复色数？
- RQ3是否存在一个多项式函数 $ f(k) $，使得每个平面图都是 $ f(k) $-着色的，且不存在长度至多为 $ 2k $ 的重复着色路径？
- RQ4对于在每一层添加环的树所构造的平面图，其非重复色数是否仍保持有界？
主要发现
- 任意 $ n $ 个顶点的平面图的非重复色数 $ \pi(G) $ 最多为 $ 8(1 + \log_{3/2} n) $，确立了 $ O(\log n) $ 的上界。
- 该证明依赖于基于平面分离器的递归分解，以及一种保持重复着色路径中层模式对称性的四色着色方法。
- 对于任意整数 $ k \geq 1 $，每个平面图均可通过 $ c^{k^2} $ 种颜色着色，以避免长度至多为 $ 2k $ 的重复着色路径，其中 $ c $ 为依赖于图类的常数。
- 该结果可推广至任意尖顶图 $ H $ 的 $ H $-无小生图，同样适用 $ c^{k^2} $ 的上界，并进一步推广至可嵌入任意固定曲面的图。
- 该 $ O(\log n) $ 上界相比先前基于 Lipton-Tarjan 分离器定理得出的 $ O(\sqrt{n}) $ 上界实现了重大改进。
- 该构造是有效的，并可产生一个计算非重复着色的多项式时间算法。
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