[论文解读] Norm-attaining functionals and proximinal subspaces

Martin Rmoutil|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过证明在 C₀ 的一种由 C.J. Read 提出的特定重范数下，其上所有范数取值泛函的集合不包含任何二维子空间，解决了 G. Godefroy 提出的问题。作者通过对有限余维子空间中逼近性与范数取值泛函的详细分析，证明了在此空间中蕴含关系 (B) ⇒ (A) 不成立，从而为所有巴拿赫空间中 NA(X) 是否存在二维子空间的问题提供了反例。

ABSTRACT

G. Godefroy asked whether, on any Banach space, the set of norm-attaining functionals contains a 2-dimensional linear subspace. We prove that a recent construction due to C.J. Read provides an example of a space which does not have this property. This is done through a study of the relation between the following two sentences where X is a Banach space and Y is a closed subspace of finite codimension in X: (A) Y is proximinal in X. (B) The annihilator of Y consists of norm-attaining functionals. We prove that these are equivalent if X is the Read's space. Moreover, we prove that any non-reflexive Banach space X with any given closed subspace Y of finite codimension at least 2 admits an equivalent norm such that (B) is true and (A) is false.

研究动机与目标

• 解决 G. Godefroy 关于每个巴拿赫空间是否在其范数取值泛函集合中都包含一个二维子空间的开放问题。
• 研究有限余维子空间的逼近性 (A) 与它们的正交补 (B) 为范数取值泛函之间的等价性。
• 构造 c₀ 的一种重范数，使得蕴含关系 (B) ⇒ (A) 不成立，从而表明 NA(X) 可以避免包含二维子空间。
• 证明任意非自反巴拿赫空间，若其具有余维数 ≥2 的有限余维子空间，则可赋予一个等价范数，使得 (B) ⇒ (A) 不成立。
• 确立 Read 重范数化的 c₀ 空间为 R(1)（即 (B) ⇒ (A) 成立），这对证明 NA(X) 中不存在二维子空间至关重要。

提出的方法

• 通过商空间结构 X/Y 分析 (A)：Y 在 X 中逼近，与 (B)：Y⊥ 由范数取值泛函组成之间的等价性。
• 利用商映射 q: X → X/Y 将单位球 BX 映射到 BX/Y 的逼近性表征。
• 通过商空间表征范数取值泛函：当且仅当对应的 ϕ ∈ (X/Y)* 在 q(BX) 上达到其范数时，y* ∈ Y⊥ 为范数取值泛函。
• 应用一种新的 WLUR（弱局部一致旋转）空间充分性的证明技术，并将其适配于 Read 重范数化 c₀ 的结构。
• 通过在 ℓ¹ 上构造特定等价范数并利用对偶性与商空间论证，构造反例。
• 采用极限论证，涉及 ℓ¹ 中泛函序列，证明若存在二维子空间，则某极限既不能为零又必须逐点趋于零，从而导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个巴拿赫空间是否在其范数取值泛函集合中都包含一个二维子空间？
• RQ2 在巴拿赫空间 X 的每个有限余维子空间 Y 中，蕴含关系 (B) ⇒ (A) 是否恒成立，其中 (A) 表示 Y 的逼近性，(B) 表示 Y⊥ 由范数取值泛函组成？
• RQ3 每个非自反巴拿赫空间是否都能被赋予一个等价范数，使得对某个有限余维子空间 Y，(B) ⇒ (A) 不成立？
• RQ4 Read 重范数化的 c₀ 空间是否为 R(1)，即 (B) ⇒ (A) 是否对所有有限余维子空间成立？
• RQ5 是否可使巴拿赫空间中范数取值泛函集合避免包含任何二维子空间？

主要发现

• 对于 Read 重范数化的 c₀，即 NA(c₀, |||·|||) 不包含任何二维子空间，从而对 Godefroy 的问题给出了否定回答。
• 空间 (c₀, |||·|||) 是 R(1)，即 (B) ⇒ (A) 对所有有限余维子空间成立，这对主结论至关重要。
• 对任意非自反巴拿赫空间 X 及其余维数 ≥2 的闭子空间 Y，存在 X 上的一个等价范数，使得 Y 不逼近，即使 Y⊥ 由范数取值泛函组成。
• 这意味着任意非自反巴拿赫空间均可被赋予一个范数，使其不满足 R(1) 性质，即 (B) ⇒ (A) 并非普遍成立。
• 证明使用了 ℓ¹ 中泛函序列的构造，以及基于商空间中逐点收敛与范数收敛的矛盾论证。
• 作者证明，在 ℓ¹ 的新范数下，单位球在商映射下的像可被设定为特定凸集 A，从而控制正交补的范数取值行为。