[论文解读] Normal forms for rank two linear irregular differential equations and moduli spaces

Karamoko Diarra, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过引入显式奇点并固定Birkhoff-Grothendieck分解，为黎曼球面上的秩二非正则极小可去联络建立了唯一的标准型。它将此类联络的模空间的一个开子集与Hirzebruch曲面的某处的点的Hilbert概形的一个开子集相联系，推广了先前的对数情形结果，并给出了与等单变系统相容的辛结构。

ABSTRACT

We provide a unique normal form for rank two irregular connections on the Riemann sphere.In fact, we provide a birational model where we introduce apparent singular points and where the bundlehas a fixed Birkhoff-Grothendieck decomposition. The essential poles and the apparent poles provide twoparabolic structures. The first one only depend on the formal type of the singular points. The latter one determine the connection (accessory parameters). As a consequence, an open set of the corresponding moduli space of connections is canonically identified with an open set of some Hilbert scheme of points on the explicit blow-up of some Hirzebruch surface. This generalizes to the irregular case a description dueto Oblezin, and Saito-Szabo in the logarithmic case. This approach is also very close to the work of Dubrovin-Mazzocco with the cyclic vector.

研究动机与目标

• 为P^1上秩二非正则联络的模空间构造一个显式的有理模型。
• 将此类联络的模空间与Hirzebruch曲面的某处的点的Hilbert概形的一个开子集相联系。
• 在模空间上建立一个与等单变系统相容的辛结构。
• 将Szabó与Oblezin先前的对数情形结果推广至非正则情形。
• 提供一个规范标准型，将形式不变量（本质极点）与辅助参数（显式极点）分离。

提出的方法

• 引入一个有理变换，通过增加显式奇点来解析奇点，并固定向量丛的Birkhoff-Grothendieck分解。
• 定义两种抛物结构：一种来自形式类型（本质极点），一种来自联络（显式极点），二者编码辅助参数。
• 构造一个从模空间M_μ^Λ到Hilb^{n−3}(Ω_D)的有理映射Φ，其中Ω_D是Ω^1_{P^1}(D)线丛的全空间。
• 利用余切丛Ω_0上的Liouville辛形式，将辛结构拉回到Hilb^{n−3}(Ω_D)的一个开集上，并证明其拉回后与M_μ^Λ上的自然辛形式一致。
• 应用伴随矩阵标准化，将联络转化为一个标量二阶微分方程，从而可与文献中已知的辛形式进行比较。
• 通过显式坐标比较，验证模空间上的辛形式ω = ∑ dp_j ∧ dq_j 与文献中已知形式（例如[12]、[4]、[20]）一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为P^1上秩二非正则联络构造一个唯一的标准型，以实现形式不变量与辅助参数的分离？
• RQ2 此类联络的模空间是否与Hirzebruch曲面某处的点的Hilbert概形有理等价？
• RQ3 模空间上的辛结构是否通过有理映射Φ拉回为Liouville形式？
• RQ4 该标准型与对数情形下已知的标量方程及辛结构有何关系？
• RQ5 该标准型能否用于构造等单变哈密顿系统，如Komyo后续工作所证实？

主要发现

• μ-稳定Λ-联络的模空间M_μ^Λ存在一个有理映射Φ，其值域为Hilb^{n−3}(Ω_D)，其中n = deg(D)。
• M_μ^Λ上的辛结构通过Φ拉回后，与∑_{j=1}^{n−3} dp_j ∧ dq_j一致，与文献中已知形式相符。
• 映射Φ是辛的，经Komyo [13]确认，并在Fuchsian情形下显式验证，且在非正则情形下至多五极点时亦成立。
• 该标准型将形式数据（本质极点）与辅助参数（显式极点）分离，后者唯一确定联络。
• 该构造将Szabó与Oblezin先前在对数情形下的结果推广至非正则情形。
• 与标准型相关的标量微分方程与Okamoto及Kimura的工作中已知形式一致，确认了辛结构的一致性。