[论文解读] Normal frames for linear connections in vector bundles and the equivalence principle in classical gauge theories

Bozhidar Z. Iliev|CERN Bulletin|Oct 21, 2001

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本文建立了向量丛中任意线性联络的法坐标系（normal frames）的存在性，将黎曼几何中法坐标的概念推广至规范理论。通过为规范场定义惯性系并在此背景下表述等效原理，将等效原理从引力推广至非引力规范相互作用，证明了对于任意线性联络，法坐标系在点上及沿单射路径上均存在。

ABSTRACT

Frames normal for linear connections in vector bundles are defined and studied. In particular, such frames exist at every fixed point and/or along injective path. Inertial frames for gauge fields are introduced and on this ground the principle of equivalence for (system of) gauge fields is formulated.

研究动机与目标

• 将流形上对称线性联络的法坐标系与法坐标系概念，推广至向量丛中任意线性联络。
• 为规范场定义惯性系，并在经典规范理论中表述等效原理。
• 证明先前关于导子与路径上平行移动的研究中关于法坐标系的结果，可直接适用于向量丛中的线性联络。
• 通过法坐标系与等效原理的框架，统一描述引力与非引力规范相互作用。
• 为将等效原理推广至规范场系统（包括引力）提供几何基础。

提出的方法

• 通过标准公理化方法定义向量丛中的线性联络，确保其与张量结构及模结构相容。
• 引入路径上的线性平行移动，并通过一一对应关系证明其与线性联络的等价性。
• 推导出与线性联络正交的法坐标系的基本方程，该方程与先前关于导子与路径移动研究中的方程一致。
• 通过各连接对应的法坐标系的乘积，构造单个规范场及其直和的惯性系。
• 通过将场拉格朗日量中的偏导数替换为总联络对应的协变导数，应用最小耦合原理。
• 证明直和联络的法坐标系对应于规范场系统的惯性系，从而实现等效原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地定义并构造向量丛中任意线性联络的法坐标系？
• RQ2 如何通过惯性系的概念，将等效原理从引力推广至非引力规范场？
• RQ3 在向量丛中，线性联络在某一点或沿单射光滑路径存在法坐标系的条件是什么？
• RQ4 单个规范场的法坐标系如何组合成相互作用规范场系统的惯性系？
• RQ5 几何等效原理在具有非阿贝尔结构群的规范理论中，可被推广到何种程度？

主要发现

• 任意向量丛中的线性联络在基流形的任意给定点处均存在法坐标系。
• 法坐标系也存在于基流形中任意单射光滑路径上，将局部存在性结果推广至曲线。
• 向量丛中线性联络的法坐标系的存在性与性质，由与先前关于导子与路径移动研究中相同的fundamental equation（基本方程）所决定，因此可直接转移已有结果。
• 若规范场相互独立，则系统规范场的惯性系可作为各独立连接法坐标系的直积构造而成。
• 规范场系统中等效原理的表述，简化为惯性系与总联络法坐标系一致的陈述，使该原理成为框架定义的重言式结果。
• 该框架允许将等效原理几何推广至规范理论，其中洛伦兹不变量被规范群表示的不变量所取代。