[论文解读] Prolongation of quasi-principal frame bundles and geometry of flag structures on manifolds

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用 12

一句话总结

本文引入了拟主框架丛的概念，以推广流形上旗结构的Tanaka延拓过程，其中每个括号生成分布的纤维上均平滑地赋予一个旗子流形。通过形式化一种弱于主丛的结构，作者将经典框架构造推广至非主设置，从而为混合阶微分方程、子黎曼几何以及更一般的几何结构提供了等价问题的解法。

ABSTRACT

Motivated by the geometric theory of differential equations and the variational approach to the equivalence problem for geometric structures on manifolds, we consider the problem of equivalence for distributions with fixed submanifolds of flags on each fiber. We call them flag structures. The construction of the canonical frames for these structures can be given in the two prolongation steps: the first step, based on our previous works, gives the canonical bundle of moving frames for the fixed submanifolds of flags on each fiber and the second step consists of the prolongation of the bundle obtained in the first step. The bundle obtained in the first step is not as a rule a principal bundle so that the classical Tanaka prolongation procedure for filtered structures can not be applied to it. However, under natural assumptions on submanifolds of flags and on the ambient distribution, this bundle satisfies a nice weaker property. The main goal of the present paper is to formalize this property, introducing the so-called quasi-principle frame bundles, and to generalize the Tanaka prolongation procedure to these bundles. Applications to the equivalence problems for systems of differential equations of mixed order, bracket generating distributions, sub-Riemannian and more general structures on distributions are given.

研究动机与目标

• 解决流形上几何结构的等价问题，其中每个纤维携带一个旗子流形，特别关注微分方程与变分几何的背景。
• 形式化一种弱于主丛的结构——拟主框架丛——该结构自然出现在旗结构中，并支持广义延拓过程。
• 通过识别一种新的结构性质，将经典的Tanaka延拓框架推广至非主丛，从而实现经典框架的构造。
• 为具有旗子结构的分布提供系统化的经典框架构造方法，适用于混合阶微分方程系统与子黎曼几何。
• 通过双纤维化、线性化与辛化等手段，统一并推广现有等价问题的处理方法，涵盖几何控制理论与偏微分方程领域。

提出的方法

• 引入拟主框架丛的概念，作为主丛的推广，其在结构群作用下满足较弱的不变性性质。
• 通过固定纤维上旗子流形的典型活动标架，定义第一级延拓步骤，基于先前在旗几何与线性化方面的研究成果。
• 通过从第一级步骤扩展丛，并利用延拓张量空间的直和分解（涉及识别空间 $\mathcal{M}_{k+1}$）来构造第二级延拓步骤。
• 通过识别同构 $\mathrm{Id}_{\varphi_{k+1}}^{k+1}$，在纤维的切空间与分次向量空间 $L^{k+1}$ 之间建立经典同构，同时保持滤子结构。
• 利用符号代数 $\mathfrak{g}^\bullet$ 的分次结构与非完整度 $\mu$，确定延拓何时稳定，从而在有限阶得到经典框架。
• 证明：若符号代数 $\mathfrak{g}^{\bar{l}} \neq 0$ 但 $\mathfrak{g}^{\bar{l}+1} = 0$，则第 $\bar{l}+\mu$ 级延拓丛 $P^{\bar{l}+\mu}$ 在 $P^{\bar{l}+\mu-1}$ 上定义了一个经典框架，完成构造过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Tanaka延拓过程推广至非主丛，特别是在旗结构的背景下？
• RQ2 何种结构性质弱于主性，但仍足以支持几何结构延拓中的经典框架构造？
• RQ3 双纤维化与纤维的线性化以何种方式在流形上诱导出旗结构？
• RQ4 在何种条件下，延拓过程会终止并为旗结构生成经典框架？
• RQ5 所提出的框架如何统一并扩展微分几何与偏微分方程理论中现有等价问题的处理方法？

主要发现

• 作者将拟主框架丛定义为对主丛的推广，其满足一种弱化的不变性条件，即使在非主丛情形下也能支持延拓过程。
• 第一级延拓步骤通过利用先前在旗几何与线性化方面的研究成果，为每个纤维上的固定旗子流形构造了经典活动标架。
• 第二级延拓步骤通过引入识别空间 $\mathcal{M}_{k+1}$，推广了Tanaka的方法，该空间将延拓空间分解为与 $L_{\varphi_k}^{k+1}$ 的直和，从而实现纤维间的经典同构。
• 空间 $L^{k+1}$ 通过同构 $\mathrm{Id}_{\varphi_{k+1}}^{k+1}$ 与 $P^{k+1}$ 在 $P^k$ 上的纤维切空间建立经典同构，同时保持滤子结构。
• 当符号代数 $\mathfrak{g}^\bullet$ 为基本代数，且 $\mathfrak{g}^{\bar{l}} \neq 0$ 但 $\mathfrak{g}^{\bar{l}+1} = 0$ 时，延拓在阶数 $\bar{l} + \mu$ 处稳定，其中 $\mu$ 为非完整度。
• 第 $\bar{l} + \mu$ 级延拓丛 $P^{\bar{l}+\mu}$ 在 $P^{\bar{l}+\mu-1}$ 上定义了一个经典框架，完成构造并解决了该旗结构的等价问题。