[论文解读] Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II

Dylan Airey, Bill Mance+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究有理数乘法与加法如何在康托尔级数展开中保持 $Q$-正规性，证明存在一个可计算的基本序列 $Q$ 和一个实数 $x$，使得 $x$ 是 $Q$-正规但不是 $Q$-分布正规，且该性质在所有有理线性变换 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 下保持不变。此类数的集合具有全豪斯多夫维数，且 $Q$ 与 $x$ 均可显式计算。

ABSTRACT

We investigate how non-zero rational multiplication and rational addition affect normality with respect to $Q$-Cantor series expansions. In particular, we show that there exists a $Q$ such that the set of real numbers which are $Q$-normal but not $Q$-distribution normal, and which still have this property when multiplied and added by rational numbers has full Hausdorff dimension. Moreover, we give such a number that is explicit in the sense that it is computable.

研究动机与目标

• 研究有理线性变换 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 下 $Q$-正规性与 $Q$-分布正规性的不变性。
• 确定是否存在一个基本序列 $Q$，使得 $Q$-正规但非 $Q$-分布正规的数的集合在所有有理 $\tau_{r,s}$ 下不变。
• 构造此类集合并证明其具有全豪斯多夫维数，以体现其大小与结构鲁棒性。
• 确保所构造的 $Q$ 与 $x$ 可计算，提供显式、算法可定义的例子。
• 探讨有理加法与乘法在康托尔级数展开中对正规性的影响，超越经典 $b$-进制正规性。

提出的方法

• 使用从 $i^{\lfloor \log i \rfloor}$ 和阶乘基数字集导出的可计算序列 $n_i$、$l_i$ 与 $L_i$，构造基本序列 $Q = (q_n)$。
• 定义实数 $\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$，其中数字 $E_n$ 从模 $i!$ 的可计算子集 $\mathcal{L}_i$ 中选取。
• 利用 $Q$ 的结构，确保有理加法 $s$ 与乘法 $r$ 仅影响有限多个数位，从而保持正规性性质。
• 应用数字频率的组合估计，并使用 $o(1)$ 渐近分析，表明非正规字符串的数量可忽略不计。
• 建立 $Q$-正规字符串的数量渐近为 $\frac{n_i \ell_i}{i^k}(1 + o(1))$，从而在 $\tau_{r,s}$ 下保证 $Q$-正规性。
• 构造一台图灵机以计算序列 $Q$ 与数字 $E_n$，证明 $Q$ 与实数 $\eta$ 的可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个基本序列 $Q$，使得 $Q$-正规但非 $Q$-分布正规的数的集合在所有有理线性变换 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 下不变？
• RQ2 此类集合是否可具有全豪斯多夫维数，表明其在分形意义下是“大”的？
• RQ3 能否显式构造出基本序列 $Q$ 与不变集中的一实数 $x$，并证明其可计算？
• RQ4 当 $s$ 的分母不整除任何 $q_n$ 时，有理加法 $s$ 对 $Q$-正规性有何影响？
• RQ5 这些结果能否推广至康托尔级数展开中正规性的 $k$ 阶或其它广义正规性概念？

主要发现

• 存在一个基本序列 $Q$，使得 $Q$-正规但非 $Q$-分布正规的数的集合在所有有理变换 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 下不变。
• 对于此 $Q$，此类数的集合具有全豪斯多夫维数，表明其在分形与测度论意义上是“大”的。
• 基本序列 $Q$ 是可计算的，通过构造一台图灵机计算第 $n$ 个基 $q_n$ 得以证明。
• 实数 $\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$，其中某些索引处 $E_n = i!$，是可计算的，并属于不变集合。
• 构造确保有理加法 $s$ 与乘法 $r$ 仅影响有限多个数位，从而保持 $Q$-正规性与非 $Q$-分布正规性。
• 不满足 $(\epsilon_i, k)$-正规性的字符串数量被限制在 $n_i i^{n_i} e^{-n_i^{1/5}}$ 以内，与总字符串数相比可忽略不计。