[论文解读] Note on the complexity of deciding the rainbow connectedness for bipartite graphs

Shasha Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文证明了判断一个二分图的彩虹连通数是否为2可在多项式时间内解决，与一般情况下的NP完全性形成对比。此外，本文通过从一般情况到二分图的多项式时间归约，证明了在颜色数量无界的情况下，判断边染色二分图的彩虹连通性仍为NP完全问题。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is said to be a rainbow path if no two edges on the path have the same color. An edge-colored graph is (strongly) rainbow connected if there exists a rainbow (geodesic) path between every pair of vertices. The (strong) rainbow connection number of $G$, denoted by ($scr(G)$, respectively) $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ (strongly) rainbow connected. Though for a general graph $G$ it is NP-Complete to decide whether $rc(G)=2$, in this paper, we show that the problem becomes easy when $G$ is a bipartite graph. Moreover, it is known that deciding whether a given edge-colored (with an unbound number of colors) graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is bipartite. We also show that a few NP-hard problems on rainbow connection are indeed NP-Complete.

研究动机与目标

• 解决判定二分图的彩虹连通数是否恰好为2的复杂性问题。
• 研究一般图中彩虹连通性的NP完全性是否可推广至二分图。
• 通过证明对于固定 k ≥ 2，若干彩虹连通性问题在固定 k 下为NP完全，从而强化先前的NP难结果。
• 厘清在结构化图类中，彩虹连通性问题的可解与不可解实例之间的边界。

提出的方法

• 证明对于二分图，rc(G) = 2 当且仅当 G 是一个满足 t ≤ 2^s 的完全二分图 K_{s,t}，从而实现多项式时间决策算法。
• 通过将每条边用一个新顶点细分，并为新产生的两条边分配不同的新颜色，从任意边染色图 G 构造出一个二分图 G'。
• 证明 G 是彩虹连通的当且仅当在扩展染色下，构造出的 G' 是彩虹连通的。
• 利用已知结论：对于固定 k，可通过检查任意两点间长度不超过 k 的所有路径，来在多项式时间内验证一个彩虹 k-染色。
• 应用关于完全二分图中彩虹连通性的已知结果，特别是引理 2.5 中关于 rc(K_{s,t}) = min{⌈√[s]t⌉, 4} 的结论，推导出决策条件。
• 通过证明问题属于 NP 且从已知的 NP 完全问题归约，确立 rc(G) ≤ k 和 src(G) ≤ k 对于固定 k ≥ 2 的 NP 完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在一般图中该问题是 NP 完全的，但判定二分图 G 的 rc(G) = 2 是否属于 P？
• RQ2 在边染色图中彩虹连通性的 NP 完全性是否在限制为二分图时依然成立？
• RQ3 对于固定 k ≥ 2，rc(G) ≤ k 和 src(G) ≤ k 等问题是否仍为 NP 完全，即使 G 是二分图？
• RQ4 能否高效计算二分图的彩虹连通数？在何种结构条件下可实现？
• RQ5 二分图的结构与其彩虹连通数之间存在何种关系？

主要发现

• 判定二分图 G 的 rc(G) = 2 可在多项式时间内解决，其充要条件是 G 为满足 t ≤ 2^s 的完全二分图 K_{s,t}。
• 判断给定边染色二分图是否为彩虹连通的问题即使在颜色数量无界时，仍为 NP 完全问题。
• 对于任意固定 k ≥ 2，判定 rc(G) ≤ k 为 NP 完全问题，从而将先前的 NP 难结果强化为 NP 完全性。
• 类似地，对于任意固定 k ≥ 2，判定 src(G) ≤ k 为 NP 完全问题，即使 G 是二分图。
• 从一般图到二分图的归约保持了彩虹连通性，从而证明了在二分图情形下该问题的 NP 完全性。
• 完全二分图 K_{s,t} 的彩虹连通数为 min{⌈√[s]t⌉, 4}，为该图类提供了精确刻画。