[论文解读] Note on the Euler Numbers and Polynomials

Taekyun Kim|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用 57

一句话总结

本文通过傅里叶分析研究欧拉数与多项式，利用欧拉函数的傅里叶变换推导出无穷级数表示。一个关键结果建立了欧拉数与第二类斯特林数之间的新恒等式：$ E_m = 2\sum_{n=0}^{m} (-1)^n n! \cdot s_2(m,n) $，并应用于类似黎曼ζ函数的级数及ζ函数在奇数整数处的特殊值。

ABSTRACT

In this paper we investigate the properties of the Euler functions. By using the Fourier transform for the Euler function, we derive the interesting formula related to the infinite series. Finally we give some interesting identities between the Euler numbers and the second kind stirling numbers.

研究动机与目标

• 通过傅里叶分析探索欧拉函数的解析性质。
• 在区间 [0,1) 上推导欧拉多项式的傅里叶级数展开。
• 建立欧拉数与第二类斯特林数之间的联系。
• 获得涉及欧拉数与类似ζ函数和的新无穷级数恒等式。

提出的方法

• 对区间 $[0,1)$ 上的欧拉函数 $ E_m(x) $ 应用傅里叶变换，表示为奇次谐波 $ e^{(2n+1)\tilde{\pi}ix} $ 的级数形式。
• 通过分部积分推导傅里叶系数 $ a_n^{(m)} $ 的递推关系，将其约化为低阶系数。
• 通过显式积分 $ x - 1/2 $ 计算基系数 $ a_n^{(1)} $，得到 $ a_n^{(1)} = 2/((2n+1)^2\pi^2 i^2) $。
• 迭代求解递推关系，将 $ a_n^{(m)} $ 表示为 $ 2m! / ((2n+1)\pi i)^{m+1} $，从而得到 $ E_m(x) $ 的傅里叶级数。
• 在 $ x=1 $ 处求值，并利用已知恒等式 $ E_m(1) = -E_m $，导出对奇整数求和的级数。
• 通过两种方式展开 $ 1/(1+e^{-x}) $ 的级数：一种基于生成函数，另一种基于含斯特林数的指数生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用欧拉函数的傅里叶变换推导出欧拉多项式与数的无穷级数表示？
• RQ2 通过生成函数揭示的欧拉数与第二类斯特林数之间存在何种关系？
• RQ3 欧拉多项式 $ E_m(x) $ 的傅里叶展开能否导出涉及ζ函数或 $ \zeta(2m+2) $ 特殊值的新恒等式？
• RQ4 傅里叶系数 $ a_n^{(m)} $ 的闭式表达是什么？其与欧拉数有何关联？
• RQ5 生成函数 $ \frac{1}{1+e^{-x}} $ 如何与欧拉数及第二类斯特林数相联系？

主要发现

• 在区间 $[0,1)$ 上，欧拉函数 $ E_m(x) $ 的傅里叶级数展开为 $ E_m(x) = m! \cdot 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{e^{(2n+1)\pi i x}}{((2n+1)\pi i)^{m+1}} $。
• 在 $ x=1 $ 处求值，得到恒等式 $ E_m = m! \cdot 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{((2n+1)\pi i)^{m+1}} $，将欧拉数与奇次倒数幂联系起来。
• 对于奇数指标，有 $ E_{2m+1} = (-1)^{m+1} \cdot 2 \cdot \frac{(2m+1)!}{\pi^{2m+2}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2m+2}} $，将欧拉数与类似ζ函数的和联系起来。
• 导出恒等式 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2m+2}} = (-1)^{m+1} \frac{E_{2m+1}}{4(2m+1)!} \pi^{2m+2} $，表明其与黎曼ζ函数在偶数整数处的取值有直接关联。
• 建立新恒等式：$ E_m = 2 \sum_{n=0}^{m} (-1)^n n! \cdot s_2(m,n) $，其中 $ s_2(m,n) $ 为第二类斯特林数。
• 通过两种方式展开生成函数 $ \frac{1}{1+e^{-x}} $，导出系数恒等式 $ E_m = 2 \sum_{n=0}^{m} (-1)^n n! \cdot s_2(m,n) $，证实了欧拉数与斯特林数之间的联系。