[论文解读] Notes on entanglement entropy for excites holographic states in 2d

R. C. Rashkov|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Quantum many-body systems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用复制技巧，推导出二维共形场论中激发全息态对纠缠熵贡献的精确表达式，将其与阿哈诺夫不变量、法伯多项式、格伦斯基系数以及弥散化托达层次的tau函数联系起来。关键结果是通过弥散化托达层次的tau函数的二阶导数，建立了纠缠熵与可积系统之间的一种新联系，暗示全息、共形场论与可积层次之间存在深刻联系。

ABSTRACT

In this work we revisit the problem of contributions of excited holographic states to the entanglement entropy in two-dimensional conformal field theories. Using the results of replica trick method we find three expressions for these contributions. First, we express the contribution of the excited states in terms of Aharonov invariants. It is shown that beside the Schwarzian, the one-point functions of descendants of energy-momentum also contribute. Given Schwarz-Christoffel map, the contributions to any order can be easily computed. The second expression relates the entanglement entropy of excited states to Faber polynomials and Grunsky coefficients. Based on the relation of Grunsky coefficiens to tau-funcion of dispersionless Toda hierarchy, we find the third expression for contributions of excited holographic states to the entanglement entropy.

研究动机与目标

• 理解二维共形场论中激发全息态如何在真空情况之外对纠缠熵产生贡献。
• 探讨共形变换与复制技巧在计算非真空态的Rényi熵与纠缠熵中的作用。
• 建立纠缠熵与阿哈诺夫不变量、法伯多项式、格伦斯基系数等数学结构之间的联系。
• 通过tau函数，推测纠缠熵与弥散化托达层次之间存在根本性关系。
• 提供一个利用共形映射与可积系统工具，对所有阶次计算纠缠熵贡献的框架。

提出的方法

• 使用复制技巧计算Rényi熵，并在n→1极限下提取纠缠熵，适用于激发态。
• 将纠缠熵差值S_vac - S_ex用施瓦茨-克里斯托弗映射及其导数表示，包括预施瓦茨与施瓦茨导数。
• 通过共形映射理论，将纠缠熵与法伯多项式及格伦斯基系数联系起来。
• 证明格伦斯基系数是弥散化托达层次自由能的二阶导数。
• 通过弥散化托达层次的tau函数推导出纠缠熵差值的闭式表达式，表明其依赖于∂²F/∂tₘ∂tₙ。
• 证明可通过格伦斯基系数的生成函数，逐阶计算出完整的纠缠熵贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维共形场论中的激发全息态如何在真空态之外对纠缠熵产生贡献？
• RQ2 能量-动量张量的一点函数及其后代在决定纠缠熵中起什么作用？
• RQ3 能否利用共形映射与特殊函数（如法伯多项式）系统地展开激发态的纠缠熵？
• RQ4 在二维共形场论与全息理论的背景下，格伦斯基系数与纠缠熵有何关联？
• RQ5 纠缠熵与可积系统（如弥散化托达层次）之间是否存在更深层次的联系？

主要发现

• 纠缠熵差值S_vac - S_ex被表达为涉及施瓦茨-克里斯托弗映射及其导数之比的对数函数，其贡献来自预施瓦茨与施瓦茨不变量。
• 激发态对纠缠熵的贡献不仅包括应力张量的一点函数，还包括恒等算符的所有后代。
• 问题通过法伯多项式与格伦斯基系数被重新表述，这些工具为任意阶次计算纠缠熵贡献提供了系统方法。
• 证明格伦斯基系数是弥散化托达层次自由能的二阶导数，从而建立了纠缠熵与可积系统之间的直接联系。
• 纠缠熵差值表达为S_vac - S_ex = (c/12) log(1 + (z−w)² ∑_{m,n} ∂²F/∂tₘ∂tₙ z^{−m−1}w^{−n−1})，其中F为弥散化托达层次的自由能。
• 本文提出一个深刻的猜想：全息纠缠熵与弥散化托达层次之间存在根本联系，暗示纠缠熵可能受可积动力学支配。