[论文解读] Notes on supersymmetric Sp(N) theories with an antisymmetric tensor

Freddy Cachazo|ArXiv.org|Jul 6, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 21

一句话总结

该论文通过应用具有周期积分整数条件的广义Konishi反常方程，解决了具有对称张量和三次超势能的 $χ=1$ 超对称 $Sp(N)$ 规范理论中低能超势能的不一致问题。对于 $Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$ 和 $Sp(8)$，其结果与动态生成的超势能结果完全一致，表明此前假设的“切口在壳上闭合”并不成立，从而解释了以往的不一致。

ABSTRACT

We study supersymmetric Sp(N) gauge theories with an antisymmetric tensor and degree n+1 tree level superpotential. The generalized Konishi anomaly equations derived in hep-th/0304119 and hep-th/0304138 are used to compute the low energy superpotential of the theory. This is done by imposing a certain integrality condition on the periods of a meromorphic one form. Explicit computations for Sp(2), Sp(4), Sp(6) and Sp(8) with cubic superpotential are done and full agreement with the results of the dynamically generated superpotential approach is found. As a byproduct, we find a very precise map from Sp(N) to a U(N+2n) theory with one adjoint and a degree n+1 tree level superpotential.

研究动机与目标

• 解决在具有对称张量的 $\mathcal{N}=1$ $Sp(N)$ 理论中，基于Konishi反常的计算与动态生成的超势能结果之间长期存在的不一致。
• 阐明 $A$-循环周期条件在手征环中的作用及其对低能有效超势能的影响。
• 证明在 $Sp(N)$ 理论中，零周期意味着切口闭合的假设是无效的，从而解释了以往的不一致。
• 建立从 $Sp(N)$ 到具有伴随场和 $n+1$ 次树图超势能的 $U(N+2n)$ 理论的精确映射。
• 通过与已知的 $Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$ 和 $Sp(8)$ 的动态超势能计算结果完全一致，验证广义Konishi反常方法的有效性。

提出的方法

• 利用 hep-th/0304119 和 hep-th/0304138 中推导的广义Konishi反常方程，计算低能超势能。
• 对生成函数 $T(z) = \langle \mathrm{Tr} \, (z - \Phi)^{-1} \rangle$ 的周期施加整数条件，具体为 $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_1} T(z) dz = N$ 和 $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_2} T(z) dz = 0$。
• 分析由 $y^2 = (W'(z))^2 + f(z)$ 定义的黎曼面，其中 $W'(z) = 0$ 是经典F项方程。
• 应用 $T(z) dz$ 的 $B$-循环周期必须为整数的条件，以纳入红外动力学。
• 对具有三次超势能的 $Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$ 和 $Sp(8)$ 进行显式计算，并与动态超势能方法的结果进行比较。
• 发现 $A_2$ 循环在壳上并不闭合，挑战了在 $U(N)$ 理论中常用的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何先前对具有对称张量的 $Sp(N)$ 理论在 $\Lambda^{3h}$ 阶次的Konishi反常计算结果与动态生成的超势能结果不一致？
• RQ2 在 $Sp(N)$ 理论中，手征算符生成函数 $T(z)$ 的周期积分的正确条件是什么？
• RQ3 在 $Sp(N)$ 规范理论中，零周期意味着切口闭合的假设是否成立，如同在 $U(N)$ 理论中一样？
• RQ4 广义Konishi反常方法能否重现具有三次超势能的 $Sp(4)$、$Sp(6)$ 和 $Sp(8)$ 的完整动态超势能？
• RQ5 具有对称张量的 $Sp(N)$ 理论与具有伴随场和 $n+1$ 次树图超势能的 $U(N+2n)$ 理论之间是否存在精确映射？

主要发现

• 周期积分条件 $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_2} T(z) dz = 0$ 并不意味着 $A_2$ 切口在壳上闭合，这与 $U(N)$ 理论中的常见假设相矛盾。
• 对于 $Sp(4)$，迹为零情况下的低能超势能为 $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 3\Lambda^3 - \frac{1}{2}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{1}{2}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{187}{216}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{1235}{648}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$。
• 对于 $Sp(6)$，迹为零的超势能为 $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 4\Lambda^3 - \frac{1}{6}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{7}{216}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{5}{432}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{221}{41472}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$。
• 对于 $Sp(8)$，迹为零的超势能为 $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 5\Lambda^3 - \frac{1}{4}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{1}{10}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{14}{200}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{1}{16}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$。
• 该方法完全重现了 $Sp(4)$、$Sp(6)$ 和 $Sp(8)$ 的动态生成超势能，解决了以往的不一致。
• 找到了从 $Sp(N)$ 到具有一个伴随场和 $n+1$ 次树图超势能的 $U(N+2n)$ 理论的精确映射，提供了对偶描述。