[论文解读] Notes on the dimension dependence in high-dimensional central limit theorems for hyperrectangles

Yuta Koike|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用 22

一句话总结

该论文通过降低近似误差界中的维度依赖性，改进了高维中心极限定理在长方体上的结果。在矩条件成立下，它表明当 n → ∞ 时，标准化的独立同分布随机向量和落在长方体内的概率可被其高斯对应物一致逼近，且当 (log d)^5 / n → 0 时误差衰减。当存在公共因子结构时，该条件可进一步改善为 (log d)^3 / n → 0。

ABSTRACT

Let $X_1,\dots,X_n$ be independent centered random vectors in $\mathbb{R}^d$. This paper shows that, even when $d$ may grow with $n$, the probability $P(n^{-1/2}\sum_{i=1}^nX_i\in A)$ can be approximated by its Gaussian analog uniformly in hyperrectangles $A$ in $\mathbb{R}^d$ as $n o\infty$ under appropriate moment assumptions, as long as $(\log d)^5/n o0$. This improves a result of Chernozhukov, Chetverikov & Kato [Ann. Probab. 45 (2017) 2309-2353] in terms of the dimension growth condition. When $n^{-1/2}\sum_{i=1}^nX_i$ has a common factor across the components, this condition can be further improved to $(\log d)^3/n o0$. The corresponding bootstrap approximation results are also developed. These results serve as a theoretical foundation of simultaneous inference for high-dimensional models.

研究动机与目标

• 改进高维和在长方体上进行一致高斯逼近所需的维度增长条件。
• 解决一个开放问题：Chernozhukov 等人（2017）中 (log d)^7 d 的依赖性是否可被降低。
• 为高维模型中的同时推断建立更紧致的界。
• 发展与主 CLT 界互补的自助法近似结果。

提出的方法

• 使用带 Stein 核技术的随机化 Lindeberg 方法，以控制近似误差对维度 d 的依赖性。
• 引入集中函数 CF(ε) 及其对偶测度 ΘX，以量化高斯极限的反集中性。
• 应用反集中不等式，并对四阶矩及分量的 ψ1-范数施加矩界。
• 推导出所有长方体 A 上 P(SX_n ∈ A) 与 P(ZX_n ∈ A) 之差的上确界界。
• 通过耦合主 CLT 结果与对称化和条件化论证，发展自助法近似定理。
• 采用和的对称化版本 (X⋄) 以解耦对经验均值的依赖性，并通过集中不等式控制误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chernozhukov 等人（2017）中长方体逼近的维度增长条件 (log d)^7 / n → 0 是否可被改进？
• RQ2 当标准化和 SX_n 的分量间存在公共因子结构时，是否可实现更紧的维度依赖性？
• RQ3 在一般情况下，(log d)^5 / n 条件是否最优，或可进一步降低？
• RQ4 在相同改进后的维度条件下，能否对分量最大值的自助法近似实现一致应用？
• RQ5 反集中性（通过 ΘX 衡量）在实现非凸集（如长方体）的高维 CLT 中起到何种作用？

主要发现

• 论文证明了在 (log d)^5 / n → 0 条件下，ρn(Are) → 0 当 n → ∞，优于 Chernozhukov 等人（2017）中的 (log d)^7 / n → 0 条件。
• 当标准化和 SX_n 在分量间具有公共因子时，条件改善为 (log d)^3 / n → 0。
• 界的形式为 ρn(Are) ≲ Θ_X^{2/3} (B_n^4 log^3 d / n)^{1/6}，其中 Θ_X 衡量反集中性，B_n 控制矩的增长。
• 证明了在相同 (log d)^5 / n → 0 条件下，自助法近似误差被一致有界，从而在高维模型中支持有效推断。
• 通过更精细地应用随机化 Lindeberg 方法，并结合 Stein 核与 ψ1-范数实现更优的反集中性控制，实现了该改进。
• 结果为同时推断提供了理论基础，例如具有强家族错误率控制的置信区间和多重假设检验。