[论文解读] Notions of double for Lie algebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 11

一句话总结

本文建立了三种结构之间的图示等价关系：空双李代数丛、李代数丛的匹配对，以及特定半直积类型的李双代数丛。证明了当且仅当关联的双结构构成李双代数丛时，李代数丛的匹配对才会出现，通过一个典范同构和括号相容性条件，将经典 Drinfel'd 双构造推广至李代数丛的设定。

ABSTRACT

We define an abstract notion of double Lie algebroid, which includes as particular cases: (1) the double Lie algebroid of a double Lie groupoid in the sense of the author, such as the iterated tangent bundle of an ordinary manifold, and various iterated tangent/cotangent constructions in symplectic and Poisson geometry; (2) the double of a Lie bialgebra; (3) the double of a matched pair, or twilled extension, of Lie algebras, and a corresponding construction for matched pairs of general Lie algebroids in the sense of Mokri and of J.-H. Lu. We prove that, given any abstract Lie bialgebroid, the `double cotangent' has a structure of double Lie algebroid, which reduces to the classical Drinfel'd double in the Lie bialgebra case. The key to the compatibility conditions between the structures in an abstract double Lie algebroid is an associated Lie bialgebroid in the sense of the author and Ping Xu.

研究动机与目标

• 将经典 Drinfel'd 双构造从李双代数推广至李代数丛的设定。
• 通过双李代数丛的形式化，阐明李代数丛匹配对背后的无穷小结构。
• 建立李代数丛匹配对的图示表征，类似于李群胚匹配对的表征。
• 验证双结构上的双代数丛条件等价于定义匹配对的扭曲导子方程。
• 在具有拉回和加法结构的范畴框架下，统一匹配对、李双代数丛与空双李代数丛的概念。

提出的方法

• 引入空双李代数丛的概念：在基流形 M 上的双向量丛上赋予李代数丛结构，并满足相容性条件。
• 将双李代数丛定义为在对偶丛 A 和 B 上赋予的两组李代数丛结构，并存在一个从切丛到余切丛的典范同构 R。
• 利用典范同构 R，将双结构上的 Schouten 括号与 A 和 B 上的李代数丛括号联系起来。
• 从双代数丛公理推导出扭曲导子方程 (6.1)，并证明其与匹配对结构等价。
• 将双李代数丛构造为半直积形式：(A ⋉ B*, A* ⋊ B)，表明该结构构成一个李双代数丛。
• 应用通过 Poisson 张量和同构 R 表征李双代数丛的方法，证明三种结构之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 Drinfel'd 双构造从李双代数推广至李代数丛的设定？
• RQ2 与李代数丛匹配对精确对应的无穷小结构是什么？
• RQ3 是否存在类似于李群胚匹配对的李代数丛匹配对的图示或范畴表征？
• RQ4 在双向量丛上的双李代数丛结构下，李双代数丛在何种条件下出现？
• RQ5 能否直接从空双李代数丛的公理推导出定义匹配对的扭曲导子方程？

主要发现

• 在 (A; A, B; M) 上的空双李代数丛结构，等价于李代数丛对 (A, B) 上的匹配对结构。
• 对 (A, B) 的匹配对结构，等价于在双结构 (A ⋉ B*, A* ⋊ B) 上的李双代数丛结构，其中李代数丛结构通过半直积定义。
• 该等价性通过典范同构 R 及映射 T 下括号的保持性得以确立，确认了双构造的一致性。
• 扭曲导子方程 (6.1) 直接从双代数丛公理推导而出，表明其在定义匹配对中的基础性作用。
• 该构造推广了经典李双代数情形：当 A 和 B 被阿贝尔化时，双结构恢复为李双代数的标准 Drinfel'd 双。
• 该框架提供了李代数丛匹配对的纯图示定义，适用于任意具有拉回和加法结构的范畴。