[论文解读] Number of moduli of irreducible families of plane curves with nodes and cusps

Concettina Galati|ArXiv.org|Apr 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了具有节点和尖点的不可约平面曲线族的模数个数，确立了此类族实现预期模数个数的条件。通过应用布里尔-诺特理论与形变技巧，本文构造了当布里尔-诺特数 ρ ≤ 0 时，仍具有有限且预期模数个数的显式例子，将已知结果拓展至非一般型情形之外。

ABSTRACT

Consider the family S of irreducible plane curves of degree n with d nodes and k cusps as singularities. Let W be an irreducible component of S. We consider the natural rational map from W to the moduli space of curves of genus g=(n-1)(n-2)/2-d-k. We define the "number of moduli of W" as the dimension of the image of W with respect to this map. If W has the expected dimension equal to 3n+g-1-k, then the number of moduli of W is at most equal to the min(3g-3, 3g-3+ρ-k), dove ρis the Brill-Neother number of the linear series of degree n and dimension 2 on a smooth curve of genus g. We say that W has the expected number of moduli if the equality holds. In this paper we construct examples of families of irreducible plane curves with nodes and cusps as singularities having expected number of moduli and with non-positive Brill-Noether number.

研究动机与目标

• 确定具有节点和尖点的不可约平面曲线族的模数个数。
• 刻画此类族在何种条件下实现预期模数个数，其定义基于模数映射到 M_g 的像的维数。
• 将已知的模数有限性结果拓展至布里尔-诺特数 ρ 非正的情形。
• 构造此类族的显式例子，其模数个数有限且为预期值，尤其针对 k ≤ 6 且 ρ ≤ 0 的情形。
• 分析模数映射在退化及部分正规化下的行为，特别是与有理尾部及线性系统的关系。

提出的方法

• 使用模数映射 Π_Σ: Σ ⇢ M_g，将模数个数定义为 dim(Π_Σ(Σ))。
• 应用形变理论与等几何族，通过正规化将奇异曲线的几何性质与光滑曲线联系起来。
• 采用布里尔-诺特数 ρ = 3n - 2g - 6 来界定模数个数，尤其在 ρ ≤ 0 时。
• 应用 Sernesi 及经典代数几何的结果，以控制曲线上线性系列的存在性与维数。
• 通过次数 n 与亏格 g 的归纳法，构造满足命题 4.1 假设的族。
• 分析部分正规化与有理尾部，以计算模数映射的纤维维数，证明在关键情形下 dim(F⁻¹([C])) = 5。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 d 个节点与 k 个尖点的不可约平面曲线族能实现预期模数个数？
• RQ2 即使布里尔-诺特数 ρ ≤ 0，此类族是否仍可能具有有限且预期的模数个数？
• RQ3 模数映射在退化下如何行为，特别是当附加有理尾部时？
• RQ4 当 ρ ≤ 0 时，一般亏格 g 曲线 [C] ∈ M_{(3n-7)/2} 的模数映射纤维维数是多少？
• RQ5 当 ρ ≤ 0 时，是否仍可在 k ≤ 6 的情况下实现预期模数个数？

主要发现

• 本文构造了具有 d 个节点与 k 个尖点的不可约平面曲线族的显式例子，即使布里尔-诺特数 ρ ≤ 0，其模数个数仍为预期值。
• 当 k ≤ 6 且 ρ ≤ 0 时，本文证明了 Σⁿ_{k,d} 至少存在一个非空不可约分支，其模数个数为预期值。
• 证明了 dim(Π_Σ(Σ)) = min(dim(M_g), dim(M_g) + ρ - k) 在预期维数 3n + g - 1 - k 实现时取等。
• 计算得出，对一般曲线 [C] ∈ M_{(3n-7)/2}，模数映射的纤维维数为 5，这对维数计数有贡献。
• 通过归纳法与退化技巧，本文确立了 dim(Π_Σ(Σ)) ≥ 3(3(n+2) - 7)/2 - 3，确认了预期的增长趋势。
• 本研究拓展了 Sernesi 等人的先前工作，表明即使在非布里尔-诺特正的情形下，一般模数行为依然可以出现。