[论文解读] Numerical analysis of a nonlinear free-energy diminishing Discrete Duality Finite Volume scheme for convection diffusion equations

Clément Cancès, Claire Chainais-Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 49被引用 26

一句话总结

该论文提出了一种用于对流-扩散方程的非线性离散对偶有限体积（DDFV）格式，该格式保持了离散能量耗散关系，确保长期行为与连续问题一致。通过将通量重新表述为非线性形式，该格式在一般网格上保持了自由能递减性质，并通过紧致性论证证明了离散解收敛到弱解，数值结果证实了相对能量的指数衰减。

ABSTRACT

We propose a nonlinear Discrete Duality Finite Volume scheme to approximate the solutions of drift diffusion equations. The scheme is built to preserve at the discrete level even on severely distorted meshes the energy / energy dissipation relation. This relation is of paramount importance to capture the long-time behavior of the problem in an accurate way. To enforce it, the linear convection diffusion equation is rewritten in a nonlinear form before being discretized. We establish the existence of positive solutions to the scheme. Based on compactness arguments, the convergence of the approximate solution towards a weak solution is established. Finally, we provide numerical evidences of the good behavior of the scheme when the discretization parameters tend to 0 and when time goes to infinity.

研究动机与目标

• 开发一种在离散层面保持各向异性对流-扩散方程能量耗散关系的有限体积格式。
• 确保该格式在一般和扭曲网格上保持连续问题的长期行为，包括向平衡态的指数衰减。
• 将能量稳定格式的适用范围扩展至两点通量近似之外，克服经典 Scharfetter-Gummel 格式的局限性。
• 利用紧致性技术证明离散解收敛到弱解。
• 提供数值证据，表明在空间和时间上实现最优收敛率，并在长时间内实现相对能量的指数衰减。

提出的方法

• 将对流-扩散方程重写为非线性通量形式：$\mathbf{J} = -u\boldsymbol{\Lambda}\nabla(\log u + V)$，以实现离散能量保持。
• 采用离散对偶有限体积（DDFV）框架，利用原始网格和对偶网格来处理各向异性扩散和对流。
• 通过构建与连续能量耗散关系相匹配的离散熵结构，强制实现自由能递减性质。
• 利用不动点论证以及离散梯度和通量的性质，证明了正的离散解的存在性。
• 通过将紧致性技术应用于离散解序列，当网格和时间步长趋于零时，建立了收敛到弱解的结论。
• 使用离散相对能量 $\mathbb{E}_{\mathcal{T}}^n - \mathbb{E}_{\mathcal{T}}^\infty$ 监测长期行为并验证指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种非线性 DDFV 格式，使其在一般网格上保持各向异性对流-扩散方程的离散能量耗散关系？
• RQ2 所提出的格式是否保持了连续问题的长期行为，包括向平衡态的指数衰减？
• RQ3 当离散化参数趋于零时，离散解是否保证保持正值并收敛到弱解？
• RQ4 该格式在扭曲网格上的空间和时间收敛率是多少？
• RQ5 该格式在长时间极限下对相对能量指数衰减的再现效果如何？

主要发现

• 该格式确保离散能量随时间减少，从而在离散层面保持了基本的能量耗散关系。
• 数值结果表明实现了最优收敛率：解在空间上的收敛率为 2 阶，时间上的收敛率为 1.5–2 阶，具体取决于网格类型。
• 在 Kershaw 网格和四边形网格上，相对能量随时间呈指数衰减，证实了该格式正确捕捉了长期动力学行为。
• 所有模拟中离散解的最小值始终保持正值，表明其对物理正性具有良好的保持能力。
• 通过紧致性论证和对离散梯度与熵的统一有界性，严格证明了离散解收敛到弱解。
• 迹不等式（定理 A.1）确保了边界上离散迹的稳定性，支持了收敛性分析。