[论文解读] Numerical analysis of the LDG method for large deformations of prestrained plates

Andrea Bonito, Diane Guignard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文针对由非线性、非凸度量约束控制的预应变板的大变形模拟，提出了局部间断伽辽金（LDG）方法的数值分析。该研究建立了离散能量的 $γ$-收敛性，证明了离散梯度流中的能量衰减，并确保了度量约束违反的可控性，从而实现了对复杂板形变的稳定且精确的极小化计算。

ABSTRACT

A local discontinuous Galerkin (LDG) method for approximating large deformations of prestrained plates is introduced and tested on several insightful numerical examples in our previous computational work. This paper presents a numerical analysis of this LDG method, focusing on the free boundary case. The problem consists of minimizing a fourth order bending energy subject to a nonlinear and nonconvex metric constraint. The energy is discretized using LDG and a discrete gradient flow is used for computing discrete minimizers. We first show $Γ$-convergence of the discrete energy to the continuous one. Then we prove that the discrete gradient flow decreases the energy at each step and computes discrete minimizers with control of the metric constraint defect. We also present a numerical scheme for initialization of the gradient flow, and discuss the conditional stability of it.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值方法，用于模拟具有复杂非等距几何形状的预应变板的大变形。
• 解决在非线性、非凸度量约束下最小化四阶弯曲能量的挑战。
• 确保通过 $γ$-收敛性，离散能量收敛至连续能量。
• 证明离散梯度流在每一步均单调减少能量，并控制度量约束的违反。
• 通过基于双调和方程的预处理步骤，提供一种稳定且精确的梯度流初始化方案。

提出的方法

• 采用带重构海森矩阵和稳定项的局部间断伽辽金（LDG）方法对能量进行离散化。
• 采用离散梯度流计算极小化器，确保每一步迭代中能量均减少。
• 通过Nitsche方法弱式施加度量约束，稳定参数的选择确保了稳定性。
• 预处理步骤求解双调和方程，生成具有小预应变缺陷的初始形变。
• 该方法可处理自由边界条件和狄利克雷边界条件，边界条件通过Nitsche公式弱式施加。
• 分析包括对度量约束缺陷的误差控制，表明在时间步长受限条件下其保持有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当网格尺寸趋于零时，离散LDG能量是否实现 $γ$-收敛至连续能量？
• RQ2 是否可证明离散梯度流单调减少能量，并计算出度量约束违反可控的极小化器？
• RQ3 如何构建一种稳定且精确的初始形变，以在梯度流开始前最小化预应变缺陷？
• RQ4 在时间推进下，离散梯度流格式的稳定性由何种条件保证？
• RQ5 边界条件如何影响离散格式的收敛性和稳定性？

主要发现

• 通过LDG方法构建的离散能量在网格尺寸趋于零时，实现对连续能量的 $γ$-收敛。
• 离散梯度流在每一步严格减少能量，确保收敛至离散极小化器。
• 度量约束缺陷受控于 $D_{h}(\mathbf{y}_{h}^{n}) \leq \varepsilon_{0} + c\tau(E_{h}(\mathbf{y}_{h}^{0}) + \widetilde{c})$，其中 $c$ 仅依赖于区域和边界。
• 基于双调和方程的预处理步骤生成初始形变 $\widehat{\mathbf{y}}_{h}$，其近似满足边界条件并减少了预应变缺陷。
• 对于狄利克雷边界条件，能量和约束缺陷的界以修改后的稳定常数保持不变，确保了鲁棒性。
• 当 $E^{p}_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim \sigma_{h}$ 时，方法实现 $E^{b}_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim 1$ 且 $D_{h}(\widetilde{\mathbf{y}}_{h}^{n_{h}}) \lesssim \sigma_{h}^{1/2}$，证实了约束控制的有效性。