[论文解读] Fractional Calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics

Francesco Mainardi|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 106被引用 881

一句话总结

本文将分数阶微积分应用于连续介质力学与统计力学中的复杂动力学建模，引入分数阶导数以推广经典粘弹性模型，解决Basset问题，并推导分数阶扩散-波动方程。其核心贡献在于利用Wright函数与Mittag-Leffler函数描述非指数型松弛与异常扩散，揭示了粘弹性与布朗运动中的长记忆性与幂律行为。

ABSTRACT

We review some applications of fractional calculus developed by the author (partly in collaboration with others) to treat some basic problems in continuum and statistical mechanics. The problems in continuum mechanics concern mathematical modelling of viscoelastic bodies (Sect. 1), and unsteady motion of a particle in a viscous fluid, i.e. the Basset problem (Sect. 2). In the former analysis fractional calculus leads us to introduce intermediate models of viscoelasticity which generalize the classical spring-dashpot models. The latter analysis induces us to introduce a hydrodynamic model suitable to revisit in Sect. 3 the classical theory of the Brownian motion, which is a relevant topic in statistical mechanics. By the tools of fractional calculus we explain the long tails in the velocity correlation and in the displacement variance. In Sect. 4 we consider the fractional diffusion-wave equation, which is obtained from the classical diffusion equation by replacing the first-order time derivative by a fractional derivative of order $0< β<2$. Led by our analysis we express the fundamental solutions (the Green functions) in terms of two interrelated auxiliary functions in the similarity variable, which turn out to be of Wright type (see Appendix), and to distinguish slow-diffusion processes ($0 < β< 1$) from intermediate processes ($1 < β< 2$).

研究动机与目标

• 通过引入分数阶导数推广经典线性粘弹性模型，以捕捉纯弹性与纯粘性响应之间的中间材料行为。
• 通过分数阶微积分重新表述水动力力，解决非定常流体-粒子运动中的Basset问题，实现对记忆效应的一致描述。
• 通过引入分数阶导数重新表述布朗运动，解释速度关联的长尾特性与非马尔可夫位移方差。
• 推导并分析阶数 β ∈ (0,2) 的分数阶扩散-波动方程，区分慢扩散过程（0 < β < 1）与中间过程（1 < β < 2）。
• 以Wright型函数表示分数阶扩散-波动方程的基本解，为异常输运提供解析工具。

提出的方法

• 使用分数阶导数（Riemann-Liouville型与Caputo型）推广粘弹性材料的本构方程，将整数阶导数替换为阶数 α ∈ (0,1) 的导数。
• 对Basset方程应用拉普拉斯变换，导出涉及Mittag-Leffler函数与分数阶松弛核的解。
• 通过将一阶时间导数替换为阶数 β ∈ (0,2) 的分数阶导数，推导分数阶扩散-波动方程，得到时间分数阶扩散方程。
• 以Wright函数 W_{-β,1}(−r) 表达基本解（格林函数），并阐明其与Mittag-Leffler函数的关系。
• 利用Wright函数 M(r;ν) 与 W_{−ν,μ}(−r) 的积分表示与拉普拉斯变换对，实现解析反演与渐近分析。
• 利用Wright函数及其拉普拉斯变换对的性质：M(r;ν) ↔ E_ν(−s)，其中 0 < ν < 1，推导精确解与渐近展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶微积分构建广义经典弹簧-阻尼系统、描述介于弹性与粘性响应之间的中间粘弹性模型？
• RQ2 分数阶导数在解决Basset问题与描述粘性流体中非定常粒子运动的记忆效应中起什么作用？
• RQ3 分数阶微积分如何修改经典布朗运动理论，以解释速度关联的长尾特性与非马尔可夫位移方差？
• RQ4 阶数 β ∈ (0,2) 的分数阶扩散-波动方程的基本解具有哪些解析性质与物理解释？
• RQ5 Wright函数与Mittag-Leffler函数如何在连续介质力学与统计力学的分数阶微分方程中自然涌现？

主要发现

• 分数阶微积分使具有幂律松弛与蠕变响应的粘弹性模型得以构建，通过分数阶导数在弹性与粘性行为之间实现插值。
• Basset问题的解以Mittag-Leffler函数表示，揭示了随时间衰减形式为 t^{−β}（其中 β = 1/2），与实验观测一致。
• 阶数 0 < β < 1 的分数阶扩散-波动方程描述慢扩散过程，而 1 < β < 2 对应具有波动特征与有限传播速度的中间过程。
• 分数阶扩散-波动方程的基本解由Wright函数 W_{−β,1}(−r) 给出，其表现出幂律尾部与非高斯行为。
• 拉普拉斯变换对 M(r;ν) ↔ E_ν(−s)（其中 0 < ν < 1）为求解粘弹性与扩散中的分数阶微分方程提供了严格的解析框架。
• 解的渐近行为由Mittag-Leffler函数主导，速度关联函数的长时衰减遵循幂律 t^{−β}（其中 β ∈ (0,1)），解释了复杂介质中的异常扩散。