[论文解读] Numerical Bifurcation Analysis of Turing and Symmetry Broken Patterns of a Vegetation PDE Model

Konstantinos Spiliotis, Lucia Russo+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2023

Ecosystem dynamics and resilienceEnvironmental Science被引用 3

一句话总结

本研究对水限制环境中植被动态的反应-扩散PDE-ODE模型进行了数值分岔分析，重点关注图灵不稳定性及对称性破缺模式。研究揭示了次级分岔导致多重稳定非对称解的出现，表明非线性效应超越线性稳定性分析时，可产生复杂且远离平衡的模式，如偏斜和倒置钟形分布，关键转变发生在降水率约为1.14和1.35处。

ABSTRACT

We study the mechanisms of pattern formation for vegetation dynamics in water-limited regions. Our analysis is based on a set of two partial differential equations (PDEs) of reaction-diffusion type for the biomass and water and one ordinary differential equation (ODE) describing the dependence of the toxicity on the biomass. We perform a linear stability analysis in the one-dimensional finite space, we derive analytically the conditions for the appearance of Turing instability that gives rise to spatio-temporal patterns emanating from the homogeneous solution, and provide its dependence with respect to the size of the domain. Furthermore, we perform a numerical bifurcation analysis in order to study the pattern formation of the inhomogeneous solution, with respect to the precipitation rate, thus analyzing the stability and symmetry properties of the emanating patterns. Based on the numerical bifurcation analysis, we have found new patterns, which form due to the onset of secondary bifurcations from the primary Turing instability, thus giving rise to a multistability of asymmetric solutions.

研究动机与目标

• 利用包含生物量、水分和毒性动态的反应-扩散模型，研究半干旱生态系统中植被模式形成的机制。
• 在一维有限区域中，通过解析推导图灵不稳定性发生的条件及其与区域大小的依赖关系。
• 以降水率为参数，进行数值分岔分析，以追踪稳定和不稳定非均匀解。
• 识别并表征解分支中的对称性破缺分岔及多重稳定性。
• 揭示超越主图灵不稳定性后，由次级分岔产生的新型非对称模式。

提出的方法

• 基于生态反馈机制，构建由两个PDE（生物量和水分）与一个ODE（毒性）组成的耦合系统。
• 围绕均匀平衡态进行线性稳定性分析，以解析确定图灵不稳定性发生的临界点及其与区域大小的依赖关系。
• 采用数值延拓技术，计算以降水率参数为变量的稳态解的完整分岔图。
• 利用路径跟踪算法，追踪包括对称与非对称模式在内的稳定与不稳定解分支。
• 通过比较图灵分岔点附近与远处的解轮廓，分析解的对称性特征。
• 识别如pitchfork型等次级分岔，这些分岔破坏了反射对称性，导致出现不同的非对称平衡态。

实验结果

研究问题

• RQ1 植被PDE-ODE模型中图灵不稳定性发生的解析条件是什么？其与区域大小有何依赖关系？
• RQ2 降水率如何调控非均匀植被模式的出现与稳定性？
• RQ3 次级分岔在产生超越主图灵不稳定的非对称、非对称解中起到何种作用？
• RQ4 在解分支上，反射对称性如何被保持或破坏？这对模式多样性有何含义？
• RQ5 系统中多重稳定性的本质是什么？不同降水条件下，多个稳定态如何共存？

主要发现

• 图灵分岔发生在临界降水率 $ p_{c_1} = 1.14 $ 处，标志着对称性破缺模式形成的起始点。
• 在 $ p_{c_1} $ 附近，出现两种对称解：钟形分布与倒置钟形分布，二者相对于均匀解呈对称关系。
• 远离 $ p_{c_1} $ 时，由于非线性效应，钟形与倒置钟形分布之间的对称性被打破。
• 在 $ p \rightarrow 1.35 $ 处的次级分岔（PF1）导致两种新的非对称、不稳定的稳态解分支出现：左偏斜与右偏斜模式。
• 这些非对称解彼此共轭，且在各自分支上保持对称性，表明其具有反射共轭结构。
• 在多个参数区域内观察到多重稳定性：从 $ LP4 $ 到 $ PF2 $，存在三种稳定解共存（裸地、对称钟形/倒置钟形）；从 $ PF2 $ 到 $ PF1 $，四种稳定态共存，包括倒置钟形与对称模式。