[论文解读] Numerical computations on the zeros of the Euler double zeta-function I

Kohji Matsumoto, Mayumi Shōji|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过两种方法对欧拉双重zeta函数 ζ₂(s,s) 的零点进行了数值计算：一是利用恒等式 ζ₂(s,s) = ½(ζ(s)² − ζ(2s)) 直接计算，二是采用一种新颖的“撒网捕鱼”方法以验证零点位置。主要发现是，ζ₂(s,s) 的非平凡零点分布与Hurwitz zeta函数极为相似，零点在临界带内密集分布，并通过导数非零确认其均为单零点。

ABSTRACT

The distribution of the zeros of the Euler double zeta-function $ζ_2(s_1,s_2)$, in the case when $s_1=s_2$, is studied numerically. Some similarity to the distribution of the zeros of Hurwitz zeta-functions is observed.

研究动机与目标

• 通过数值方法研究欧拉双重zeta函数 ζ₂(s,s) 的非平凡零点分布。
• 将 ζ₂(s,s) 的零点分布与Hurwitz zeta函数 ζ(s,α) 的零点分布进行比较，其动机源于两者定义中共享的加法结构。
• 开发并应用一种新颖的数值验证方法，以确认候选零点确为真实零点，而非仅接近零的值。
• 通过计算并确认导数 ζ₂′(s,s) 在各点处非零，建立 ζ₂(s,s) 的零点为单重零点（即阶数为一）。

提出的方法

• 利用恒等式 ζ₂(s,s) = ½(ζ(s)² − ζ(2s))，借助Mathematica内置的 ζ(s) 函数高效计算函数值。
• 应用Euler-Maclaurin求和公式推导出 ζ₂(s₁,s₂) 的渐近展开式，从而实现在收敛区域内的数值计算。
• 实施“撒网捕鱼”方法：在 σ 取小区间变化时，追踪 ζ₂(σ+it,σ+it) 在复平面上的轨迹，检测曲线是否穿越原点，从而确认零点的存在。
• 通过恒等式 d/ds[½(ζ(s)² − ζ(2s))] 计算导数 ζ₂′(s,s)，并在每个点确认其非零，以验证每个候选零点均为单重零点。
• 采用高精度算术（精度约 10⁻¹⁷）以确保数值结果的可靠性，尤其针对临界带附近的零点。

实验结果

研究问题

• RQ1 ζ₂(s,s) 的非平凡零点是否表现出与Hurwitz zeta函数 ζ(s,α) 相似的分布模式？
• RQ2 在 ζ₂(s,s) 的背景下，数值方法能否可靠地区分真实零点与接近零的非零值？
• RQ3 ζ₂(s,s) 的零点是否为单重零点，是否存在重数大于一的零点？
• RQ4 ζ₂(s,s) 的零点集合在临界带 0 < Re(s) < 1 内的行为如何？

主要发现

• 在临界带 0 < Re(s) < 1 内，ζ₂(s,s) 的零点分布与Hurwitz zeta函数极为相似，子区域中存在正密度的零点，表现为虚部高达 60 的大量零点存在。
• “撒网捕鱼”方法成功确认了通过直接计算识别的所有候选零点均为真实零点，因为其在复平面上对应的轨迹确实穿越原点。
• 所发现的最近似零点对在复平面上的距离约为 0.206，表明所有零点均为孤立点，无重叠。
• 导数 ζ₂′(s,s) 在所有测试的零点位置均计算得出非零值，确认所有零点均为单重零点（阶数为一）。
• 数值计算的精度达到约 10⁻¹⁷，确保了对计算出的零点位置及其性质具有高度置信度。