[论文解读] Numerical investigation on weak Galerkin finite elements

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文对二阶椭圆问题的弱伽辽金（WG）有限元方法进行了全面的数值研究，分析了31张计算结果表格中的稳定性、收敛性和超接近性。结果表明，特定的WG单元——尤其是$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$和$(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$——在矩形单元和三角形单元网格上，于能量范数和$L^2$范数下均表现出两阶超接近性，无稳定器公式表现出最优收敛性并提升了鲁棒性。

ABSTRACT

The weak Galerkin (WG) finite element method is an effective and flexible general numerical technique for solving partial differential equations. The novel idea of weak Galerkin finite element methods is on the use of weak functions and their weak derivatives defined as distributions. Weak functions and weak derivatives can be approximated by polynomials with various degrees. Different combination of polynomial spaces generates different weak Galerkin finite elements. The purpose of this paper is to study stability, convergence and supercloseness of different WG elements by providing many numerical experiments recorded in 31 tables. These tables serve two purposes. First it provides a detail guide of the performance of different WG elements. Second, the information in the tables opens new research territory why some WG elements outperform others.

研究动机与目标

• 系统评估各种弱伽辽金有限元格式在稳定性、收敛性和超接近性方面的性能。
• 识别哪些多项式空间组合$(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$可实现最优收敛速率和更高的精度。
• 探讨稳定器项对收敛行为和计算复杂度的影响。
• 提供一份详细的参考表（共31张表格），作为根据网格类型和多项式阶次选择WG单元的计算指南。
• 通过揭示尚未有理论解释的数值现象（如超接近性和不稳定性），为新研究方向的开启提供支持。

提出的方法

• 弱伽辽金有限元方法采用弱函数$v = \{v_0, v_b\}$，其中$v_0$为单元内部值，$v_b$为边界上的迹，二者均由多项式空间$P_\ell(T)$和$P_s(e)$逼近。
• 弱导数$\nabla_w v$通过变分形式定义：$(\nabla_w v, \mathbf{q})_T = -(v_0, \nabla \cdot \mathbf{q})_T + \langle v_b, \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \rangle_{\partial T}$，对所有$\mathbf{q} \in G_m(T)$成立，其中$G_m(T)$通常取$[P_m(T)]^d$或$RT_m(T)$。
• 研究了两种公式：参数无关稳定器的常规WG方法，以及通过提高$m$来省去稳定器的无稳定器WG方法。
• 在三角形单元和矩形单元网格上进行数值实验，采用多种多项式组合，测量能量范数和$L^2$范数下的收敛速率。
• 研究比较了不同多项式阶次$\ell$、$s$和$m$的单元，包括$P_k(T)$、$P_{k-1}(e)$、$P_k(T)$、$P_{k+1}(e)$以及$RT_m(T)$，共31张详细表格。
• 分析聚焦于收敛阶数、超接近性（定义为$O(h^{k+2})$）和稳定性，结果表明某些组合实现了高于预期的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些多项式空间组合$(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$可使二阶椭圆问题在能量范数和$L^2$范数下实现最优收敛速率？
• RQ2 为何某些WG单元（如$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$）在两种范数下均表现出两阶超接近性，而其他单元（如$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$）却收敛性能较差？
• RQ3 稳定器的存在或缺失如何影响WG单元在三角形单元和矩形单元网格上的收敛行为和鲁棒性？
• RQ4 为何在三角形单元网格上，WG单元$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$表现出观测到的不稳定性，以及如何加以修正？
• RQ5 在特定WG单元中观测到的超接近性能否从理论上证明？何种条件可导致这种增强的精度？

主要发现

• WG单元$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$在矩形单元网格上，于能量范数和$L^2$范数下均表现出两阶超接近性，收敛速率均为$O(h^{k+2})$。
• WG单元$(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$在一般三角形单元网格上，于两种范数下均实现$O(h^{k+2})$的超接近性，该结论已在文献[2]中得到理论证明。
• 无稳定器的WG方法公式实现了最优收敛性，无需额外稳定化处理，从而简化了实现过程并降低了计算成本。
• WG单元$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$在三角形单元网格上表现出较差的收敛性，能量范数下收敛速率为$O(h^{k+1})$，$L^2$范数下为$O(h^{k+2})$，表明存在不稳定性。
• 单元$(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_{k-1}(T))$在三角形单元网格上，能量范数下实现$O(h^{k+2})$的收敛速率，$L^2$范数下为$O(h^{k+3})$，表明使用Raviart-Thomas空间可提升性能。
• 单元$(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_k(T))$表现出次优收敛性，能量范数下仅为$O(h^{k+1})$，$L^2$范数下为$O(h^{k+2})$，表明更高阶的Raviart-Thomas空间并不总是能提高精度。