[论文解读] On stabilizer-free weak Galerkin finite element methods on polytopal meshes

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在多胞形网格上求解二阶椭圆问题的无稳定器弱伽辽金有限元方法，通过使用高阶多项式计算弱梯度，无需额外的稳定化项。该方法在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下均达到最优收敛率，误差估计证明当多项式次数 $k \geq 1$ 时收敛率为 $O(h^{k+1})$，并通过三角形和多边形网格上的数值实验得到验证。

ABSTRACT

A stabilizing/penalty term is often used in finite element methods with discontinuous approximations to enforce connection of discontinuous functions across element boundaries. Removing stabilizers from discontinuous finite element methods will simplify the formulations and reduce programming complexity significantly. The goal of this paper is to introduce a stabilizer free weak Galerkin finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes in 2D or 3D. This new WG method keeps a simple symmetric positive definite form and can work on polygonal/polyheral meshes. Optimal order error estimates are established for the corresponding WG approximations in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented verifying the theorem.

研究动机与目标

• 开发一种有限元方法，通过消除稳定化项来简化不连续近似的公式化。
• 在一般多胞形网格上保持刚度矩阵的对称性和正定性。
• 在无罚函数或稳定化项的前提下，实现离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的最优误差收敛率。
• 通过数值验证，展示该方法在三角形和多边形网格上的鲁棒性与准确性。

提出的方法

• 该方法采用有限元空间 $V_h$，其中包含内部和边界处次数为 $k$ 的多项式近似。
• 通过使用更高次多项式（次数 $j \geq k+1$）定义弱梯度 $\nabla_w$，以在离散变分意义下计算梯度。
• 离散变分形式采用 $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v) = (f, v) $，与原始 PDE 的弱形式非常相似。
• 通过使用更高次弱梯度近似，确保一致性和稳定性，从而避免使用稳定化项。
• 采用类似于离散 $H^1$ 的范数 $|||\cdot|||$ 衡量误差，结合内部和边界跳变。
• 利用对偶论证和正则性假设，通过 Ritz 投影和插值推导误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 无稳定器的弱伽辽金方法是否能在多胞形网格上实现最优收敛，而无需额外稳定化？
• RQ2 在弱梯度计算中使用更高次多项式是否能消除对罚函数项的需求，同时保持稳定性和准确性？
• RQ3 无稳定器 WG 方法在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的最优收敛率是多少？
• RQ4 与标准三角形单元相比，该方法在一般多边形网格上的表现如何？
• RQ5 为确保给定单元多项式次数 $k$ 下的最优收敛，弱梯度所需的最小多项式次数是多少？

主要发现

• 对于多项式次数 $k \geq 1$，该方法在离散 $H^1$ 范数下实现了最优的 $O(h^{k+1})$ 收敛率。
• 在 $L^2$ 范数下也获得了最优的 $O(h^{k+1})$ 收敛率，理论分析与数值实验均予以证实。
• 在三角形和多边形网格上的数值结果表明，收敛率与理论预测一致：$P_1$ 配合 $P_2$ 弱梯度时为 1.98–2.00，$P_2$ 配合 $P_3$ 时为 2.99–3.00，依此类推。
• 该方法在具有 12 条边的多边形网格上仍保持稳定与准确，证实其在一般多胞形单元上的鲁棒性。
• 使用更高次弱梯度（$j = k+1$ 或更高）可实现无稳定化的公式化，且不损害收敛性。
• 由于无需稳定化项，实现过程更加简化，编程复杂度降低，同时保持最优精度。