[论文解读] Numerically Modelling Stochastic Lie Transport in Fluid Dynamics

Colin J. Cotter, Dan Crisan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于求解由随机李传输（Stochastic Lie Transport, SLT）导出的随机偏微分方程（SPDE）的数值一致有限元方法。SLT 是一种数据驱动方法，将流体速度分解为确定性漂移和空间相关的随机输运。该方法成功捕捉了非高斯统计特性，并量化了二维不可压缩欧拉流在粗网格模拟中的不确定性，其集合解在时间上持续跟踪真实确定性解。

ABSTRACT

We present a numerical investigation of stochastic transport in ideal fluids. According to Holm (Proc Roy Soc, 2015) and Cotter et al. (2017), the principles of transformation theory and multi-time homogenisation, respectively, imply a physically meaningful, data-driven approach for decomposing the fluid transport velocity into its drift and stochastic parts, for a certain class of fluid flows. In the current paper, we develop new methodology to implement this velocity decomposition and then numerically integrate the resulting stochastic partial differential equation using a finite element discretisation for incompressible 2D Euler fluid flows. The new methodology tested here is found to be suitable for coarse graining in this case. Specifically, we perform uncertainty quantification tests of the velocity decomposition of Cotter et al. (2017), by comparing ensembles of coarse-grid realisations of solutions of the resulting stochastic partial differential equation with the "true solutions" of the deterministic fluid partial differential equation, computed on a refined grid. The time discretization used for approximating the solution of the stochastic partial differential equation is shown to be consistent. We include comprehensive numerical tests that confirm the non-Gaussianity of the stream function, velocity and vorticity fields in the case of incompressible 2D Euler fluid flows.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解理想流体动力学中由随机李传输（SLT）产生的随机偏微分方程（SPDE）的数值一致有限元方法。
• 利用高分辨率确定性模拟中获得的空间相关性数据，校准随机速度分解。
• 通过将粗网格 SPDE 集合解与细网格确定性解进行比较，执行不确定性量化。
• 验证 SPDE 集合中流函数、速度和涡度场的非高斯特性。
• 为未来基于粒子滤波器的集合数据同化建立理论基础坚实、具有随机动力学支撑的框架。

提出的方法

• 采用有限元空间离散化方法，数值求解带有 Stratonovich 噪声的随机二维不可压缩欧拉方程。
• 实施一种已被证明对 SPDE 具有数值一致性的时间离散格式，确保在网格细化下收敛。
• 利用从细网格解的拉格朗日轨迹中估计出的速度-速度空间相关性特征向量，校准随机输运分量。
• 通过将细网格速度场投影到粗网格上，并基于相关性结构引入随机扰动，构建 SPDE 的初始条件。
• 生成 SPDE 解的集合，以执行不确定性量化和统计验证。
• 使用统计检验方法，包括峰度和箱线图，评估速度、流函数和涡度场的非高斯性及集合展布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维不可压缩欧拉流中由随机李传输导出的 SPDE 开发一种数值一致的有限元方法？
• RQ2 SPDE 解的集合是否能在粗网格上准确跟踪真实确定性解的大尺度动力学？
• RQ3 SPDE 解的统计分布是否如模型随机结构所预期的那样呈现非高斯特性？
• RQ4 能否利用高分辨率模拟中的空间相关性数据可靠地校准随机速度分解？
• RQ5 增加集合规模和网格细化在多大程度上能提升不确定性量化中对真实解的保真度？

主要发现

• 用于 SPDE 的时间离散格式已被证明具有数值一致性，确保在网格细化下收敛至真实解。
• SPDE 集合解能够随时间成功跟踪确定性解的大尺度行为，且随着网格分辨率提高而更加精确。
• SPDE 集合中的流函数、速度和涡度场表现出显著的非高斯特征，表现为分布不对称及箱线图中的厚尾。
• 速度分量的峰度值超过正态分布的峰度，证实存在重尾和非高斯统计特性。
• 随着集合规模增大和网格分辨率提高，粗网格 SPDE 解的不确定性降低，表明对真实解的保真度提升。
• 该方法为基于集合的数据同化提供了一种理论基础坚实、系统化的途径，能够在集合展布与真实轨迹的包含性之间实现良好平衡。