[论文解读] $O(N^3)$ Measurement Cost for Variational Quantum Eigensolver on Molecular Hamiltonians

Pranav Gokhale, Frederic T. Chong|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文通过将约尔丹-维格纳编码的分子哈密顿量中的泡利项划分为大小为 $O(N)$ 的可交换家族，将变分量子本征求解器（VQE）的测量成本从 $O(N^4)$ 降低至 $O(N^3)$。该方法基于巴纳亚伊定理和流网络构造性地生成这些划分，耗时 $O(N^5 "log N)$，实现与分子系数无关的预计算。

ABSTRACT

Variational Quantum Eigensolver (VQE) is a promising algorithm for near-term quantum machines. It can be used to estimate the ground state energy of a molecule by performing separate measurements of $O(N^4)$ terms. Several recent papers observed that this scaling may be reducible to $O(N^3)$ by partitioning the terms into linear-sized commuting families that can be measured simultaneously. We confirm these empirical observations by studying the MIN-COMMUTING-PARTITION problem at the level of the fermionic Hamiltonian and its encoding into qubits. Moreover, we provide a fast, pre-computable procedure for creating linearly-sized commuting partitions by solving a round-robin scheduling problem via flow networks.

研究动机与目标

• 解决 VQE 在分子哈密顿量上测量成本过高的问题，该问题由于需单独测量每个泡利字符串而呈现 $O(N^4)$ 的增长。
• 验证经验观察结果，即通过将可交换的泡利字符串分组以实现并行测量，$O(N^3)$ 的测量成本是可实现的。
• 开发一种高效且可预计算的方法，用于生成此类可交换划分，其仅依赖于 $N$，而不依赖于分子特异的系数。
• 提供一种构造性且可扩展的解决方案，经典运行时间较低，以避免削弱量子优势。

提出的方法

• 利用巴纳亚伊定理将所有 4-量子比特泡利项划分为 $O(N^3)$ 个家族，每个家族大小为 $O(N)$，且家族内各项彼此可交换。
• 将划分问题建模为循环赛程调度任务，编码为具有 $O(N^3)$ 个顶点和 $O(N^4)$ 条边的流网络。
• 应用流四舍五入技术，在每轮迭代中以 $O(N^4 \log N)$ 时间计算整数最大流，从而将总运行时间减少至 $O(N^5 \log N)$。
• 通过 $N$ 轮流网络求解构建划分，每轮生成一组互不相交的、大小为 $N/4$ 的索引四元组。
• 由此产生的可交换家族允许通过共享的本征基同时测量，仅需 $O(N)$ 个量子门。
• 该方法可预计算：划分仅依赖于 $N$，而不依赖于分子哈密顿量的具体 $h_{pq}$ 或 $h_{pqrs}$ 系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过可交换划分，严格地将约尔丹-维格纳编码的分子哈密顿量在 VQE 上的 $O(N^4)$ 测量成本降低至 $O(N^3)$？
• RQ2 是否存在一种构造性且高效的方法，用于生成此类划分，且独立于分子特异性参数？
• RQ3 划分的经典计算成本是否足够低，以在近期内 VQE 实现中保持量子优势？
• RQ4 使用巴纳亚伊定理和流网络是否能够实现对任意 $N$-量子比特分子系统的可扩展、可预计算的划分？

主要发现

• 约尔丹-维格纳编码的分子哈密顿量在 VQE 上的测量成本，通过将泡利项划分为可交换家族，可被严格降低为 $O(N^3)$。
• 每个可交换家族包含 $O(N)$ 项，可实现并行测量，将所需测量轮次减少至 $O(N^3)$。
• 通过基于流网络的巴纳亚伊定理实现，划分在 $O(N^5 \log N)$ 时间内构建，使其对任意 $N$ 均可预计算。
• 该方法仅依赖于 $N$，不依赖于具体 $h_{pq}$ 或 $h_{pqrs}$ 系数，因此单一划分可复用于所有 $N$-量子比特分子哈密顿量。
• 并行测量电路仅需 $O(N)$ 个量子门，因为共享的本征基是 4-量子比特块的张量积。
• 该方法实现了测量成本的渐近降低，并可能通过优化的 Trotter 分解，改善其他量子化学任务（如哈密顿量模拟）。